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1.在△ABC中,D為BC的中點(diǎn),tan∠BAD=1tanC,E為邊AC上的一點(diǎn),且AE=12EC,BE=2,則△ABC面積的最大值為3.

分析 由tan∠BAD=1tanC,可得∠BAD+∠C=\frac{π}{2},因此∠DAC+∠ABD=\frac{π}{2}.在△ADC中,\frac{CD}{sin∠DAC}=\frac{AD}{sinC},在△ABD中,\frac{BD}{sin∠BAD}=\frac{AD}{sin∠ABD},可得sin2C=sin2∠ABD,∠C=∠ABD,或∠C+∠ABD=\frac{π}{2},△ABC為等腰三角形或直角三角形.分類討論,利用三角形面積計(jì)算公式即可得出.

解答 解:由tan∠BAD=\frac{1}{tan∠C},∴∠BAD+∠C=\frac{π}{2},∴∠DAC+∠ABD=\frac{π}{2}
在△ADC中,\frac{CD}{sin∠DAC}=\frac{AD}{sinC},
在△ABD中,\frac{BD}{sin∠BAD}=\frac{AD}{sin∠ABD},
可得sin2C=sin2∠ABD,
∴∠C=∠ABD,或∠C+∠ABD=\frac{π}{2},
∴△ABC為等腰三角形或直角三角形.
設(shè)AE=x.
①當(dāng)△ABC為直角三角形時(shí),AB=\sqrt{4-{x}^{2}},
∴S△ABC=\frac{1}{2}•3x•\sqrt{4-{x}^{2}},
{S}_{△ABC}^{2}=\frac{9}{4}x2(4-x2≤\frac{9}{4}(\frac{{x}^{2}+4-{x}^{2}}{2})^{2}=9,當(dāng)且僅當(dāng)x=\sqrt{2}時(shí)等號(hào)成立.此時(shí)S△ABC=3.
②當(dāng)△ABC為等腰三角形時(shí),S△ABC=\frac{1}{2}•3x•3xsin∠BAC=\frac{9}{2}{x}^{2}sin∠ABC
cos∠BAC=\frac{9{x}^{2}+{x}^{2}-4}{2×3x×x}=\frac{10{x}^{2}-4}{6{x}^{2}},sin2∠BAC=1-(\frac{10{x}^{2}-4}{6{x}^{2}})^{2},
∴S△ABC=\frac{9}{2}{x}^{2}\sqrt{1-(\frac{10{x}^{2}-4}{6{x}^{2}})^{2}}=3\sqrt{-4{x}^{4}+5{x}^{2}-1}(\frac{1}{2}<x<1)
∴當(dāng)x2=\frac{5}{8}時(shí),S△ABC有最大值\frac{9}{4}
綜上可得:△ABC面積的最大值為3.
故答案為:3.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正弦定理余弦定理、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式,基本不等式的性質(zhì)、三角形面積計(jì)算公式,考查了分類討論方法、推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.

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