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1.在△ABC中,D為BC的中點(diǎn),tan∠BAD=1tanC,E為邊AC上的一點(diǎn),且AE=12EC,BE=2,則△ABC面積的最大值為3.

分析 由tan∠BAD=1tanC,可得∠BAD+∠C=π2,因此∠DAC+∠ABD=π2.在△ADC中,CDsinDAC=ADsinC,在△ABD中,BDsinBAD=ADsinABD,可得sin2C=sin2∠ABD,∠C=∠ABD,或∠C+∠ABD=π2,△ABC為等腰三角形或直角三角形.分類討論,利用三角形面積計(jì)算公式即可得出.

解答 解:由tan∠BAD=1tanC,∴∠BAD+∠C=π2,∴∠DAC+∠ABD=π2
在△ADC中,CDsinDAC=ADsinC,
在△ABD中,BDsinBAD=ADsinABD,
可得sin2C=sin2∠ABD,
∴∠C=∠ABD,或∠C+∠ABD=π2,
∴△ABC為等腰三角形或直角三角形.
設(shè)AE=x.
①當(dāng)△ABC為直角三角形時(shí),AB=4x2,
∴S△ABC=123x4x2,
S2ABC=94x2(4-x294x2+4x222=9,當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí)等號(hào)成立.此時(shí)S△ABC=3.
②當(dāng)△ABC為等腰三角形時(shí),S△ABC=123x3xsin∠BAC=92x2sinABC
cos∠BAC=9x2+x242×3x×x=10x246x2,sin2∠BAC=1-10x246x22,
∴S△ABC=92x2110x246x22=34x4+5x2112x1
∴當(dāng)x2=58時(shí),S△ABC有最大值94
綜上可得:△ABC面積的最大值為3.
故答案為:3.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正弦定理余弦定理、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式,基本不等式的性質(zhì)、三角形面積計(jì)算公式,考查了分類討論方法、推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.

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