分析 由tan∠BAD=1tan∠C,可得∠BAD+∠C=π2,因此∠DAC+∠ABD=π2.在△ADC中,CDsin∠DAC=ADsinC,在△ABD中,BDsin∠BAD=ADsin∠ABD,可得sin2C=sin2∠ABD,∠C=∠ABD,或∠C+∠ABD=π2,△ABC為等腰三角形或直角三角形.分類討論,利用三角形面積計(jì)算公式即可得出.
解答 解:由tan∠BAD=1tan∠C,∴∠BAD+∠C=π2,∴∠DAC+∠ABD=π2
在△ADC中,CDsin∠DAC=ADsinC,
在△ABD中,BDsin∠BAD=ADsin∠ABD,
可得sin2C=sin2∠ABD,
∴∠C=∠ABD,或∠C+∠ABD=π2,
∴△ABC為等腰三角形或直角三角形.
設(shè)AE=x.
①當(dāng)△ABC為直角三角形時(shí),AB=√4−x2,
∴S△ABC=12•3x•√4−x2,
∴S2△ABC=94x2(4-x2)≤94(x2+4−x22)2=9,當(dāng)且僅當(dāng)x=√2時(shí)等號(hào)成立.此時(shí)S△ABC=3.
②當(dāng)△ABC為等腰三角形時(shí),S△ABC=12•3x•3xsin∠BAC=92x2sin∠ABC,
cos∠BAC=9x2+x2−42×3x×x=10x2−46x2,sin2∠BAC=1-(10x2−46x2)2,
∴S△ABC=92x2√1−(10x2−46x2)2=3√−4x4+5x2−1(12<x<1),
∴當(dāng)x2=58時(shí),S△ABC有最大值94.
綜上可得:△ABC面積的最大值為3.
故答案為:3.
點(diǎn)評(píng) 本題考查了正弦定理余弦定理、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式,基本不等式的性質(zhì)、三角形面積計(jì)算公式,考查了分類討論方法、推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.
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