Question

已知a，b，c分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，c=

3

asinC+ccosA．
（1）求角A；
（2）若a=2

3

，△ABC的面積為

3

，求△ABC的周長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理,正弦定理

專(zhuān)題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）已知等式利用正弦定理化簡(jiǎn)，根據(jù)sinC不為0，得到關(guān)系式，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的三角函數(shù)值，利用特殊角的三角函數(shù)值求出A的度數(shù)即可；
（2）利用三角形面積公式列出關(guān)系式，將sinA，已知面積代入求出bc的值，再利用余弦定理列出關(guān)系式，將a，bc，cosA的值代入求出b+c的值，即可出三角形ABC周長(zhǎng)．

解答： 解：（1）由c=

3

asinC+ccosA，利用正弦定理化簡(jiǎn)得：sinC=

3

sinAsinC+sinCcosA，
∵sinC≠0，
∴

3

sinA+cosA=1，即2sin（A+

π

6

）=1，
∴sin（A+

π

6

）=

1

2

，
又0＜A＜π，
∴

π

6

＜A+

π

6

＜

7π

6

，
則A+

π

6

=

5π

6

，即A=

2π

3

；
（2）∵△ABC的面積S=

1

2

bcsinA=

3

，sinA=

3

2

，
∴bc=4，
由余弦定理知a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²+bc，得a²+bc=（b+c）²，
代入a=2

3

，bc=4，
解得：b+c=4，
則△ABC周長(zhǎng)為4+2

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了正弦、余弦定理，三角形面積公式，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．