Question

如圖所示，等邊△ABC的邊長為2，D為AC中點，且△ADE也是等邊三角形，在△ADE以點A為中心向下轉(zhuǎn)動到穩(wěn)定位置的過程中，

BD

•

CE

的取值范圍是（　�。�

• A、[

  1

  2

  ，

  3

  2

  ]
• B、[

  1

  3

  ，

  1

  2

  ]
• C、（

  1

  2

  ，

  4

  3

  ）
• D、（

  1

  4

  ，

  5

  3

  ）

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運算

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),平面向量及應(yīng)用

分析：設(shè)∠BAD=θ，（0≤θ≤

π

3

），則∠CAE=θ，則

BD

=（

AD

-

AB

）•（

AE

-

AC

），將其展開，運用向量的數(shù)量積的定義，再由兩角和差的余弦公式，化簡得到

5

2

-2cosθ，再由余弦函數(shù)的性質(zhì)，即可得到范圍．

解答： 解：設(shè)∠BAD=θ，（0≤θ≤

π

3

），則∠CAE=θ，
則

BD

•

CE

=（

AD

-

AB

）•（

AE

-

AC

）=

AD

•

AE

-

AB

•

AC

-

AD

•

AC

+

AB

•

AC

=
=1×1×cos

π

3

-1×2×cos（

π

3

）-2×1×cos（

π

3

）+2×2×cos

π

3

=

5

2

-2（

1

2

cosθ+

3

2

sinθ+

1

2

cosθ-

3

2

sinθ）=

5

2

-2cosθ，
由于0≤θ≤

π

3

，則

1

2

≤cosθ≤1，
則

1

2

≤

5

2

-2cosθ≤

3

2

．
故選：A．

點評：本題考查平面向量的數(shù)量積的定義，考查三角函數(shù)的化簡和求最值，考查運算能力，屬于中檔題．