Question

8．已知橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，短軸兩個(gè)端點(diǎn)為A，B，且四邊形F₁AF₂B是邊長(zhǎng)為2的正方形．
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知圓的方程是x²+y²=a²+b²，過(guò)圓上任一點(diǎn)P作橢圓C的兩條切線l₁與l₂，求證：l₁⊥l₂．

Answer 1

分析 （1）由題意可得：a=2，b=c，a²+b²=c²，解出即可得出．
（2）設(shè)P（x₀，y₀），若過(guò)點(diǎn)P的切線斜率都存在，設(shè)其方程為y-y₀=k（x-x₀），與橢圓方程聯(lián)立化為：$（1+2{k^2}）{x^2}+4k（{y_0}-k{x_0}）x+2{（k{x_0}-{y_0}）^2}-4=0$，
根據(jù)直線與橢圓相切，可得△=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系即可得出．若過(guò)點(diǎn)P的切線有一條斜率不存在，容易得出．

解答 解：（1）a=2，b=c，a²+b²=c²，
∴b²=2，
∴橢圓C的方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$．
（2）設(shè)P（x₀，y₀），若過(guò)點(diǎn)P的切線斜率都存在，設(shè)其方程為y-y₀=k（x-x₀），
由$\left\{{\begin{array}{l}{y-{y_0}=k（x-{x_0}）}\\{{x^2}+2{y^2}=4}\end{array}}\right.$得，$（1+2{k^2}）{x^2}+4k（{y_0}-k{x_0}）x+2{（k{x_0}-{y_0}）^2}-4=0$，
∵直線與橢圓相切，∴△=0，${[4k（{y_0}-k{x_0}）]^2}-4（1+2{k^2}）[2{（k{x_0}-{y_0}）^2}-4]=0$，
整理得$（4-x_0^2）{k^2}+2{x_0}{y_0}k+2-y_0^2=0$，
∵橢圓C的兩條切線的斜率分別為k₁，k₂，由韋達(dá)定理，${k_1}•{k_2}=\frac{2-y_0^2}{4-x_0^2}$，
∵點(diǎn)P在圓O上，∴$x_0^2+y_0^2=6$，即$y_0^2=6-x_0^2$，
∴${k_1}•{k_2}=\frac{2-y_0^2}{4-x_0^2}=\frac{2-（6-x_0^2）}{4-x_0^2}=\frac{-4+x_0^2}{4-x_0^2}=-1$，
∴l(xiāng)₁⊥l₂，
特別的，若過(guò)點(diǎn)P的切線有一條斜率不存在，不妨設(shè)該直線為l₁，
則l₁的方程為x=±2，l₂的方程為$y=±\sqrt{2}$，∴l(xiāng)₁⊥l₂，
綜上，對(duì)任意滿足題設(shè)的點(diǎn)P，都有l(wèi)₁⊥l₂．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、直線與橢圓相切的性質(zhì)、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、線段垂直平分線的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．