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8.已知橢圓Cx2a2+y2b2=1ab0的左右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,短軸兩個(gè)端點(diǎn)為A,B,且四邊形F1AF2B是邊長(zhǎng)為2的正方形.
(1)求橢圓C的方程;
(2)已知圓的方程是x2+y2=a2+b2,過(guò)圓上任一點(diǎn)P作橢圓C的兩條切線l1與l2,求證:l1⊥l2

分析 (1)由題意可得:a=2,b=c,a2+b2=c2,解出即可得出.
(2)設(shè)P(x0,y0),若過(guò)點(diǎn)P的切線斜率都存在,設(shè)其方程為y-y0=k(x-x0),與橢圓方程聯(lián)立化為:1+2k2x2+4ky0kx0x+2kx0y024=0,
根據(jù)直線與橢圓相切,可得△=0,利用根與系數(shù)的關(guān)系、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系即可得出.若過(guò)點(diǎn)P的切線有一條斜率不存在,容易得出.

解答 解:(1)a=2,b=c,a2+b2=c2,
∴b2=2,
∴橢圓C的方程為x24+y22=1
(2)設(shè)P(x0,y0),若過(guò)點(diǎn)P的切線斜率都存在,設(shè)其方程為y-y0=k(x-x0),
{yy0=kxx0x2+2y2=4得,1+2k2x2+4ky0kx0x+2kx0y024=0,
∵直線與橢圓相切,∴△=0,[4ky0kx0]241+2k2[2kx0y024]=0,
整理得4x20k2+2x0y0k+2y20=0
∵橢圓C的兩條切線的斜率分別為k1,k2,由韋達(dá)定理,k1k2=2y204x20,
∵點(diǎn)P在圓O上,∴x20+y20=6,即y20=6x20,
k1k2=2y204x20=26x204x20=4+x204x20=1,
∴l(xiāng)1⊥l2,
特別的,若過(guò)點(diǎn)P的切線有一條斜率不存在,不妨設(shè)該直線為l1
則l1的方程為x=±2,l2的方程為y=±2,∴l(xiāng)1⊥l2,
綜上,對(duì)任意滿足題設(shè)的點(diǎn)P,都有l(wèi)1⊥l2

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、直線與橢圓相切的性質(zhì)、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、線段垂直平分線的性質(zhì),考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于難題.

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