分析 (1)由題意可得:a=2,b=c,a2+b2=c2,解出即可得出.
(2)設(shè)P(x0,y0),若過(guò)點(diǎn)P的切線斜率都存在,設(shè)其方程為y-y0=k(x-x0),與橢圓方程聯(lián)立化為:(1+2k2)x2+4k(y0−kx0)x+2(kx0−y0)2−4=0,
根據(jù)直線與橢圓相切,可得△=0,利用根與系數(shù)的關(guān)系、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系即可得出.若過(guò)點(diǎn)P的切線有一條斜率不存在,容易得出.
解答 解:(1)a=2,b=c,a2+b2=c2,
∴b2=2,
∴橢圓C的方程為x24+y22=1.
(2)設(shè)P(x0,y0),若過(guò)點(diǎn)P的切線斜率都存在,設(shè)其方程為y-y0=k(x-x0),
由{y−y0=k(x−x0)x2+2y2=4得,(1+2k2)x2+4k(y0−kx0)x+2(kx0−y0)2−4=0,
∵直線與橢圓相切,∴△=0,[4k(y0−kx0)]2−4(1+2k2)[2(kx0−y0)2−4]=0,
整理得(4−x20)k2+2x0y0k+2−y20=0,
∵橢圓C的兩條切線的斜率分別為k1,k2,由韋達(dá)定理,k1•k2=2−y204−x20,
∵點(diǎn)P在圓O上,∴x20+y20=6,即y20=6−x20,
∴k1•k2=2−y204−x20=2−(6−x20)4−x20=−4+x204−x20=−1,
∴l(xiāng)1⊥l2,
特別的,若過(guò)點(diǎn)P的切線有一條斜率不存在,不妨設(shè)該直線為l1,
則l1的方程為x=±2,l2的方程為y=±√2,∴l(xiāng)1⊥l2,
綜上,對(duì)任意滿足題設(shè)的點(diǎn)P,都有l(wèi)1⊥l2.
點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、直線與橢圓相切的性質(zhì)、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、線段垂直平分線的性質(zhì),考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于難題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題
A. | 14+2√3 | B. | 12+4√3 | C. | 16+4√3 | D. | 15+√3 |
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A. | 2 | B. | 2√2 | C. | 3 | D. | 4 |
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A. | (0,3] | B. | [-1,8] | C. | (0,6] | D. | [2,3] |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題
A. | 在點(diǎn)x=x0處的斜率 | |
B. | 在點(diǎn) ( x0,f ( x0 ) ) 處的切線與x軸所夾的銳角正切值 | |
C. | 點(diǎn) ( x0,f ( x0 ) ) 與點(diǎn) (0,0 ) 連線的斜率 | |
D. | 曲線y=f(x)在點(diǎn) ( x0,f ( x0 ) ) 處的切線的斜率. |
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A. | -6 | B. | -3 | C. | 0 | D. | 3 |
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A. | (-2,2)∪(1,3) | B. | (-3,-1)∪(1,2) | C. | (-2,3)∪(-1,1) | D. | (-3,1)∪(-1,2) |
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