Question

7．已知橢圓E：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的右焦點為F，直線l：3x-4y=0交橢圓E于A，B兩點，若|AF|+|BF|=14，點F關于l對稱點M在橢圓E上，則F坐標為（5，0）．

Answer 1

分析 設F′為橢圓的左焦點，連接AF′，BF′，則四邊形AFBF′是平行四邊形，可得14=|AF|+|BF|=|AF′|+|BF|=2a．解得a=7，取M（m，n），運用對稱可得$\frac{n}{m-c}$=-$\frac{4}{3}$，3•$\frac{m+c}{2}$-4•$\frac{n}{2}$=0，解得m，n，代入橢圓方程，解得c=5，即可得到所求F的坐標．

解答 解：如圖所示，
設F′為橢圓的左焦點，連接AF′，BF′，
則四邊形AFBF′是平行四邊形，
可得|AF|+|BF|=|AF|+|AF′|=2a=14，解得a=7．
設M（m，n），由點F（c，0）關于l對稱點為M，可得
$\frac{n}{m-c}$=-$\frac{4}{3}$，3•$\frac{m+c}{2}$-4•$\frac{n}{2}$=0，
解得m=$\frac{7}{25}$c，n=$\frac{24}{25}$c，
將M（$\frac{7}{25}$c，$\frac{24}{25}$c）代入橢圓方程，可得
$\frac{49{c}^{2}}{625×49}$+$\frac{576{c}^{2}}{625×（49-{c}^{2}）}$=1，
解得c=5，即F（5，0）．
故答案為：（5，0）．

點評 本題考查了橢圓的定義、標準方程及其性質、點到直線的距離公式和中點坐標公式，考查計算能力，屬于中檔題．