精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情
已知向量
a
=(
3
2
,-
3
2
),
b
=(
1
2
,
3
2
),且存在實數x和y,使向量
m
=
a
+(x2-3)•
b
n
=-y
a
+x
b
,且
m
n

(Ⅰ)求函數y=f(x)的關系式,并求其單調區(qū)間和極值;
(Ⅱ)是否存在正數M,使得對任意x1,x2∈[-1,1],都有|f(x1)-f(x2)|≤M成立?若存在求出M;若不存在,說明理由.
分析:(Ⅰ)由條件可得
a
b
=0,故
m
n
=-3y+x(x2-3)=0,可得y=f(x)=
1
3
x3-x
,求導數可得單調區(qū)間和極值;
(Ⅱ)可知f(x)在[-1,1]上的最大值為
2
3
,最小值為-
2
3
,可得|f(x1)-f(x2)|≤|
2
3
-(-
2
3
)
|=
4
3
,進而可得答案.
解答:解:(Ⅰ)由題意可得
a
b
=
3
2
×
1
2
+(-
3
2
3
2
=0,
由且
m
n
可得
m
n
=[
a
+(x2-3)•
b
]•(-y
a
+x
b

=-y
a
2
+x(x2-3)
b
2
=-3y+x(x2-3)=0,
變形可得y=f(x)=
1
3
x3-x

求導數可得f′(x)=x2-1=(x+1)(x-1).
故在(-∞,-1)和(1,+),f′(x)>0
函數f(x)為增函數,
在(-1,1)f′(x)<0,函數f(x)為減函數.
故f(x)的極大值為f(-1)=
2
3
,f(x)的極小值為f(1)=-
2
3

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,函數f(x)=
1
3
x3-x
在[1,1]上為減函數,
故f(x)的最大值為f(-1)=
2
3
,最小值為f(1)=-
2
3

故對任意x1,x2∈[-1,1],都有|f(x1)-f(x2)|≤|
2
3
-(-
2
3
)
|=
4
3

故存在正數M≥
4
3
符合要求.
點評:本題考查函數的單調性和極值,涉及平面向量的運算和垂直與數量積的關系,屬中檔題.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

已知向量
a
=(sinx,
3
2
)
,
b
=(cosx,-1)

(1)當向量
a
與向量
b
共線時,求tanx的值;
(2)求函數f(x)=2(
a
+
b
b
的最大值,并求函數取得最大值時的x的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

已知向量
a
=(3,1)
b
=(2,λ)
,若
a
b
,則實數λ的值為( 。
A、
2
3
B、-
2
3
C、
3
2
D、-
3
2

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

已知向量
a
=(sinx,
3
2
),
b
=(cosx,-1).
(1)當
a
b
時,求2cos2x-sin2x的值;
(2)求f(x)=(
a
+
b
)•
b
[-
π
2
,0]
上的單調區(qū)間,并說明單調性.

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

已知向量
a
=(2,1),
b
=(3,λ),且
a
b
,則λ=( 。

查看答案和解析>>

同步練習冊答案