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【題目】如圖，在四棱錐中，∥AB，，，，，，，E是的中點.

（1）求證：；

（2）求二面角的余弦值.

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）通過證明和，得平面，從而即可得到本題答案；

（2）以M點為原點，為x軸，為y軸，以過點M且垂直平面ABCD的方向為z軸，建立空間直角坐標系，分別求出平面ABE和平面PBE的法向量，然后套用公式即可得到本題答案.

（1）證明：如圖，設M是的中點，連接，

在梯形中，由已知易得，

在中，，則，

與是平面內的兩條相交直線，

所以平面，而在平面內，

所以；

（2）解：作PH垂直于MC，垂足為H，以M點為原點，為x軸，為y軸，以過點M且垂直平面ABCD的方向為z軸，建立空間直角坐標系.

在中，因為,,所以，則，

易知，又，所以，即為直角三角形，

易得，

所以

因為，

所以平面的一個法向量是，

又，，

所以平面的一個法向量是，

，

由圖可知，二面角為銳角，所以二面角的余弦值是.

練習冊系列答案
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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】2020年3月，國內新冠肺炎疫情得到有效控制，人們開始走出家門享受春光.某旅游景點為吸引游客，推出團體購票優(yōu)惠方案如下表：

購票人數

1~50

51~100

100以上

門票價格

13元/人

11元/人

9元/人

兩個旅游團隊計劃游覽該景點.若分別購票，則共需支付門票費1290元；若合并成個團隊購票，則需支付門票費990元，那么這兩個旅游團隊的人數之差為（ ）

A.20B.25C.30D.40

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知拋物線，直線與拋物線交于兩點.

（Ⅰ）若，求以為直徑的圓被軸所截得的弦長；

（Ⅱ）分別過點作拋物線的切線，兩條切線交于點，求面積的最小值.

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【題目】“一帶一路”是“絲綢之路經濟帶”和“21世紀海上絲綢之路”的簡稱，旨在積極發(fā)展我國與沿線國家經濟合作關系，共同打造政治互信、經濟融合、文化包容的命運共同體.自2015年以來，“一帶一路”建設成果顯著.如圖是2015—2019年，我國對“一帶一路”沿線國家進出口情況統(tǒng)計圖，下列描述錯誤的是( )

A.這五年，出口總額之和比進口總額之和大

B.這五年，2015年出口額最少

C.這五年，2019年進口增速最快

D.這五年，出口增速前四年逐年下降

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】為了解高中學生對數學課是否喜愛是否和性別有關，隨機調查220名高中學生，將他們的意見進行了統(tǒng)計，得到如下的列聯表.

喜愛數學課

不喜愛數學課

合計

男生

90

20

110

女生

70

40

110

合計

160

60

220

（1）根據上面的列聯表判斷，能否有的把握認為“喜愛數學課與性別”有關；

（2）為培養(yǎng)學習興趣，從不喜愛數學課的學生中進行進一步了解，從上述調查的不喜愛數學課的人員中按分層抽樣抽取6人，再從這6人中隨機抽出2名進行電話回訪，求抽到的2人中至少有1名“男生”的概率.

參考公式：.

P（）

0.10

0.05

0.010

0.005

0.001

2.706

3.841

6.635

7.879

10.828

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】假如你的公司計劃購買臺機器，該種機器使用三年后即被淘汰，在購進機器時，可以一次性額外購買幾次維修服務，每次維修服務費用200元，另外實際維修一次還需向維修人員支付小費，小費每次50元，在機器使用期間，如果維修次數超過購機時購買的維修服務次數，則每維修一次需支付維修服務費用500元，無需支付小費，現需決策在購買機器時應同時一次性購買幾次維修服務，為此搜集并整理了100臺這種機器在三年使用期內的維修次數，得下面統(tǒng)計表：

維修次數

8

9

10

11

12

頻數

10

20

30

30

10

記表示1臺機器在三年使用期內的維修次數，表示1臺機器在維修上所需的費用（單位：元），表示購機的同時購買的維修服務次數.

（1）若，求與的函數解析式.

（2）若要求“維修次數不大于”的頻率不小于0.8，求的值.

（3）假設這100臺機器在購機的同時每臺都購買10次維修服務，或每臺都購買11次維修服務，分別計算這100臺機器在維修上所需費用的平均數，以此作為決策依據，購買1臺機器的同時應購買10次還是11次維修服務？

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某商店舉行促銷反饋活動，顧客購物每滿200元，有一次抽獎機會（即滿200元可以抽獎一次，滿400元可以抽獎兩次，依次類推）.抽獎的規(guī)則如下：在一個不透明口袋中裝有編號分別為1，2，3，4，5的5個完全相同的小球，顧客每次從口袋中摸出一個小球，共摸三次，每次摸出的小球均不放回口袋，若摸得的小球編號一次比一次大（如1，2，5），則獲得一等獎，獎金40元；若摸得的小球編號一次比一次�。ㄈ�5，3，1），則獲得二等獎，獎金20元；其余情況獲得三等獎，獎金10元.

（1）某人抽獎一次，求其獲獎金額X的概率分布和數學期望;

（2）趙四購物恰好滿600元，假設他不放棄每次抽獎機會，求他獲得的獎金恰好為60元的概率.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知拋物線的焦點為，點，點為拋物線上的動點．

（1）若的最小值為，求實數的值；

（2）設線段的中點為，其中為坐標原點，若，求的面積．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】2019年國慶節(jié)假期期間，某商場為掌握假期期間顧客購買商品人次，統(tǒng)計了10月1日7:00-23：00這一時間段內顧客0這一時間段內顧客購買商品人次，統(tǒng)計發(fā)現這一時間段內顧客購買商品共5000人次顧客購買商品時刻的頻率分布直方圖如下圖所示，其中時間段7:00 11:00，11:00 15:00，15:00 ~19:00，19:00~23:00，依次記作[7，11），[11，15），[15，19），[19，23].

（1）求該天顧客購買商品時刻的中位數t與平均值（同一組中的數據用該組區(qū)間的中點值代表）；

（2）現從10月1日在該商場購買商品的顧客中隨機抽取100名顧客，經統(tǒng)計有男顧客 40人，其中10人購物時刻在[19，23](夜晚)，女顧客60人，其中50人購物時刻在[7，19)(白天)，根據提供的統(tǒng)計數據，完成下面的2×2列聯表，并判斷是否有90%的把握認為“男顧客更喜歡在夜晚購物”?

附：

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