16、如圖在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,M,N分別是A1B和B1C1的中點(diǎn).
(1)求證:BC∥平面MNB1;
(2)當(dāng)AC=AA1時(shí),求證:平面MNB1⊥平面A1CB.
分析:(1)由直三棱柱的幾何特征,易得直三棱柱ABC-A1B1C1中,BC∥B1C1,然后由線面平行的判定定理得到BC∥平面MNB1;
(2)連接AC1,由AC=AA1,得四邊形ACC1A1是正方形,結(jié)合,∠ACB=90°,M,N分別是A1B和B1C1的中點(diǎn).我們易得BC⊥平面ACC1A1,連接AB1,則A1B與AB1的交點(diǎn)即為AB1的中點(diǎn)M,故MN∥AC1,由線面垂直的判定定理得到MN⊥平面A1BC,再由面面垂直的判定定理得到平面MNB1⊥平面A1CB.
解答:證明:∵BC∥B1C1,且B1C1?平面MNB1,BC?平面MNB1,
∴BC∥平面MNB1;
(2)連接AC1,由AC=AA1,得四邊形ACC1A1是正方形
∴AC1⊥A1C,
直三棱柱中CC1⊥平面ABC,
∴CC1⊥BC,
又BC⊥AC
∴BC⊥平面ACC1A1,
∴BC⊥AC1
∵A1C∩BC=C
∴AC1⊥平面A1BC
連接AB1,則A1B與AB1的交點(diǎn)即為AB1的中點(diǎn)M,
又∵N是B1C1的中點(diǎn),
∴MN∥AC1,
∴MN⊥平面A1BC且MN?B1MN
∴平面MNB1⊥平面A1CB.
點(diǎn)評(píng):本題考查的知識(shí)點(diǎn)是平面與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定,熟練掌握直三棱柱的幾何特征,熟練掌握空間直線與平面之間位置的判定、性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.
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如圖在直三棱柱ABC-A1B1C1中,棱AB,BC,BB1兩兩垂直長(zhǎng)度相等,點(diǎn)P在線段A1C1上運(yùn)動(dòng),異面直線BP與B1C所成的角為θ,則θ的取值范圍是
[
π
3
,
π
2
)
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π
3
π
2
)

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如圖在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC=AA1=2,∠ACB=90°,E、F、G分別為AC,AA1,AB的中點(diǎn).
①求證:B1C1∥平面EFG;
②求FG與AC1所成的角;
③求三棱錐B1--EFG的體積.

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