Question

【題目】在直角坐標(biāo)系中，已知曲線：（為參數(shù)），曲線：（為參數(shù)），且，點(diǎn)P為曲線與的公共點(diǎn).

（1）求動點(diǎn)P的軌跡方程；

（2）在以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，直線l的極坐標(biāo)方程為，求動點(diǎn)P到直線l的距離的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（）.（2）

【解析】

（1）設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)P同時滿足曲線與的方程，消參得，，，由，即可求得點(diǎn)的軌跡方程；

（2）由，，將極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程，動點(diǎn)為圓心在原點(diǎn)，半徑為2的圓，先求出圓心到直線的距離，即可求出動點(diǎn)到直線的取值范圍.

解析：（1）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為.

因為點(diǎn)P為曲線與的公共點(diǎn)，所以點(diǎn)P同時滿足曲線與的方程.

曲線消去參數(shù)可得，曲線消去參數(shù)可得.

由，所以.

所以點(diǎn)P的軌跡方程為（）.

（2）由已知，直線l的極坐標(biāo)方程，

根據(jù)，可化為直角坐標(biāo)方程：.

因為P的軌跡為圓（去掉兩點(diǎn)），

圓心O到直線l的距離為，

所以點(diǎn)P到直線l的距離的取值范圍為.