Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，數列{b_n}的前n項和為T_n，{b_n}為等差數列且各項均為正數，
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）若a₁+b₁，a₂+b₂，a₃+b₃成等比數列，求．

Answer 1

解：（1）a₂=2S₁+1=3=3a₁，
當n≥2時，a_n+1-a_n=（2S_n+1）-（2S_n-1+1）=2a_n，（3分）
∴a_n+1=3a_n，即，
∴數列{a_n}是首項a₁=1，公比為3的等比數列，（4分）
從而得：；（6分）
（2）設數列{b_n}的公差為d（d＞0），
∵T₃=15，∴b₂=5，
依題意a₁+b₁，a₂+b₂，a₃+b₃成等比數列，
則有，
又a₂=3，b₁=b₂+d=5-d，b₃=b₂+d=5+d，
∴64=（5-d+1）（5+d+9），
解得：d=2或d=-10（舍去），（8分）
∵b₁=5-d=5-2=3，
∴，（10分）
∵=（-），
則
=
=．（13分）
分析：（1）把n=1代入a_n+1=2S_n+1，并根據S₁=a₁進行化簡得到a₂=3a₁，當n大于等于2時，表示出a_n+1-a_n，根據S_n-S_n-1=a_n變形，可得出a_n+1=3a_n，進而確定出數列{a_n}是首項a₁=1，公比為3的等比數列，表示出此等比數列的通項公式即可；
（2）設出等差數列{b_n}的公差為d，由已知b₁+b₂+b₃=15，利用等差數列的性質化簡，可得出b₂的值，再由a₁+b₁，a₂+b₂，a₃+b₃成等比數列，利用等比數列的性質列出關系式，利用等比數列的通項公式化簡得到關于d的方程，求出方程的解得到d的值，進而求出b₁的值，利用等差數列的求和公式表示出T_n，利用拆項法得到=（-），
列舉出T_n的各項，抵消合并后即可得到所求式子的值．
點評：此題考查了等差、等比數列的性質，等差、等比數列的通項公式，等比數列的確定，以及數列的求和，利用了拆項的方法，熟練掌握性質及公式是解本題的關鍵．