Question

4．《九章算術(shù)》中的“兩鼠穿墻題”是我國(guó)數(shù)學(xué)的古典名題：“今有垣厚若干尺，兩鼠對(duì)穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，問(wèn)何日相逢，各穿幾何？”題意是：“有兩只老鼠從墻的兩邊打洞穿墻，大老鼠第一天進(jìn)一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也進(jìn)一尺，以后每天減半．”如果墻足夠厚，S_n為前n天兩只老鼠打洞長(zhǎng)度之和，則S_n=${2}^{n}-\frac{1}{{2}^{n-1}}+1$尺．

Answer 1

分析 根據(jù)題意可知，大老鼠和小老鼠打洞的距離為等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，求得S_n．

解答 解：由題意可知：大老鼠每天打洞的距離是以1為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，
前n天打洞之和為$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$=2ⁿ-1，
同理，小老鼠每天打洞的距離$\frac{1-（\frac{1}{2}）^{n}}{1-\frac{1}{2}}$=2-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，
∴Sn=2ⁿ-1+2-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$=${2}^{n}-\frac{1}{{2}^{n-1}}+1$，
故答案為：=${2}^{n}-\frac{1}{{2}^{n-1}}+1$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查求等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，要認(rèn)真審題，屬于基礎(chǔ)題．