Question

在淘寶網(wǎng)上，某店鋪專賣孝感某種特產(chǎn)．由以往的經(jīng)驗表明，不考慮其他因素，該特產(chǎn)每日的銷售量y（單位：千克）與銷售價格x（單位：元/千克，1＜x≤5）滿足：當1＜x≤3時，y=a（x-3）²+

b

x-1

，（a，b為常數(shù)）；當3＜x≤5時，y=-70x+490．已知當銷售價格為2元/千克時，每日可售出該特產(chǎn)600千克；當銷售價格為3元/千克時，每日可售出150千克．
（1）求a，b的值，并確定y關(guān)于x的函數(shù)解析式；
（2）若該特產(chǎn)的銷售成本為1元/千克，試確定銷售價格x的值，使店鋪每日銷售該特產(chǎn)所獲利潤f（x）最大（x精確到0.1元/千克）．

Answer 1

考點：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用

專題：計算題,應(yīng)用題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由題意，代入數(shù)據(jù)求出a，b；從而求出函數(shù)的解析式；
（2）由于是分段函數(shù)，討論其各部分的最大值，從而求函數(shù)的最大值點．

解答： 解：（1）由題意：
x=2時y=600，∴a+b=600，
又∵x=3時y=150，∴b=300．
∴y=

300(x-3)2+ 300 x-1 ，1＜x≤3 -70x+490，3＜x≤5

．
（2）由題意：
f(x)=y(x-1)=

300(x-3)2(x-1)+300，1＜x≤3 (-70x+490)(x-1)，3＜x≤5

，
當1＜x≤3時，
f（x）=300（x-3）²（x-1）+300=300（x³-7x²+15x-8），
f'（x）=300（3x²-14x+15）=（3x-5）（x-3），
∴x=

5

3

時有最大值

5900

9

． 
當3＜x≤5時，
f（x）=（-70x+490）（x-1），
∴x=4時有最大值630．
∵630＜

5900

9

，
∴當x=

5

3

時f（x）有最大值

5900

9

，
即當銷售價格為1.7元的值，使店鋪所獲利潤最大．

點評：本題考查了實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題的能力，同時考查了分段函數(shù)的最大值的求法，屬于中檔題．