Question

5．已知偶函數(shù)f（x）是定義在{x∈R|x≠0}上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為f′（x），當(dāng)x＜0時(shí)，f′（x）＞$\frac{f（x）}{x}$恒成立，設(shè)m＞1，記a=$\frac{4m•f（m+1）}{m+1}$，b=2$\sqrt{m}$•f（2$\sqrt{m}$），c=（m+1）•f（$\frac{4m}{m+1}$），則a，b，c的大小關(guān)系為（　　）

• A． a＜b＜c
• B． a＞b＞c
• C． b＜a＜c
• D． b＞a＞c

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)g（x），求出g（x）的奇偶性和單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)判斷a，b，c的大小即可．

解答 解：令g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，（x≠0），
∴g′（x）=$\frac{xf′（x）-f（x）}{{x}^{2}}$，
∵x＜0時(shí)，f′（x）＞$\frac{f（x）}{x}$恒成立，
即x＜0時(shí)，xf′（x）-f（x）＜0，
∴x＜0時(shí)，g′（x）＜0，g（x）遞減，
而f（-x）=f（x），
∴g（-x）=$\frac{f（-x）}{-x}$=-$\frac{f（x）}{x}$=-g（x），
g（x）是奇函數(shù)，
∴g（x）在（0，+∞）遞減，
∵m+1＞2$\sqrt{m}$＞$\frac{4m}{m+1}$，
∴g（m+1）＜g（2$\sqrt{m}$）＜g（$\frac{4m}{m+1}$），
即$\frac{f（m+1）}{m+1}$＜$\frac{f（2\sqrt{m}）}{2\sqrt{m}}$＜$\frac{f（\frac{4m}{m+1}）}{\frac{4m}{m+1}}$，
∴a＜b＜c，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性問(wèn)題，根據(jù)函數(shù)g（x）是解題的關(guān)鍵，本題是一道中檔題．