Question

數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=r•a_n+r（n∈N^*，r∈R且r≠0），則“r=1”是“數(shù)列{a_n}成等差數(shù)列”的

1. A.
   充分不必要條件
2. B.
   必要不充分條件
3. C.
   充分必要條件
4. D.
   既不充分也不必要條件

Answer 1

A
分析：把r=1代入給出的遞推式，直接判斷出數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，再由給出的遞推式，當(dāng)r≠1時(shí)，配方后得到，說明數(shù)列{}是等比數(shù)列，求出其通項(xiàng)公式后可得a_n，由a_n看出，當(dāng)r=時(shí)數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，從而說明“r=1”是“數(shù)列{a_n}成等差數(shù)列”的不必要條件．
解答：當(dāng)r=1時(shí)，等式a_n+1=r•a_n+r化為a_n+1=a_n+1，即a_n+1-a_n=1（n∈N^*）．
所以，數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)a₁=1，公差為1的等差數(shù)列；
“r=1”是“數(shù)列{a_n}成等差數(shù)列”的充分條件；
當(dāng)r不等于1時(shí)，
由，得：，
所以，數(shù)列{}是首項(xiàng)為，公比為r的等比數(shù)列
所以，，
．
當(dāng)r=時(shí)，a_n=1．{a_n}是首項(xiàng)為1，公差為0的等差數(shù)列．
因此，“r=1”不是“數(shù)列{a_n}成等差數(shù)列”的必要條件．
綜上可知，“r=1”是“數(shù)列{a_n}成等差數(shù)列”的充分但不必要條件．
故選A．
點(diǎn)評：本題考查了必要條件、充分條件及充要條件，解答的關(guān)鍵是判斷必要性，也是該題的難點(diǎn)，考查了由遞推式求數(shù)列的通項(xiàng)公式，對于a_n+1=pa_n+q型的遞推式，一般都可轉(zhuǎn)化成一個(gè)新的等比數(shù)列．此題是中檔題．