Question

已知（

3

x2

+3x²）ⁿ（n∈N）的展開式中，名項(xiàng)系數(shù)的和與其各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)和的比值為32．
（Ⅰ）求n；
（Ⅱ）求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 對于各項(xiàng)系數(shù)的和可以通過賦值令x=1來求解，而各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)之和由二項(xiàng)式系數(shù)公式可知為2ⁿ，最后通過比值關(guān)系為32即可求出n的值是5．
（Ⅱ）利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求出通項(xiàng)，令x的指數(shù)為0，求出r，將r的值代入通項(xiàng)求出展開式的常數(shù)項(xiàng)．

解答：解：（Ⅰ）令x=1，則（

3	x2

+3x²）ⁿ  展開式的各項(xiàng)系數(shù)和為4ⁿ
又各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)之和由二項(xiàng)式系數(shù)公式可知為2ⁿ
∴

4n

2n

=32，∴n=5
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：n=5
∴（

3	x2

+3x²）ⁿ展開式的第3、4兩項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大 即  T₃=

C

2 5

(

3	x2

)3(3x2)2=90 x⁶
T₄=

C

3 5

(

3	x2

)2(3x2)3=270x

22

3

點(diǎn)評：本題考查求展開式的各項(xiàng)系數(shù)和的重要方法是賦值法、考查利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式解決二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)問題，解答關(guān)鍵是利用展開式的各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和為2ⁿ