Question

已知函數(shù)與函數(shù)g（x）=alnx在點(diǎn)（1，0）處有公共的切線，設(shè)F（x）=f（x）-mg（x）（m≠0）．
（1）求a的值
（2）求F（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）因?yàn)楹瘮?shù)與函數(shù)g（x）=alnx在點(diǎn)（1，0）處有公共的切線，且f（1）=g（1）=0，說明點(diǎn)（1，0）在兩條曲線上，把兩函數(shù)求導(dǎo)后根據(jù)在（1，0）處的導(dǎo)數(shù)值相等可得a的值；
（2）把f（x）與g（x）代入函數(shù)F（x）的解析式，然后求其導(dǎo)函數(shù)，分m＜0和m＞0判斷導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求得F（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值．其中當(dāng)m＞0時需要由導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)對區(qū)間[1，e]進(jìn)行分段．
解答：解：（1）因?yàn)閒（1）==0，g（1）=aln1=0，所以（1，0）在函數(shù)f（x），g（x）的圖象上
又，所以f'（1）=1，g'（1）=a
所以a=1
（2）因?yàn)镕（x）=f（x）-mg（x），所以，，其定義域?yàn)閧x|x＞0}
當(dāng)m＜0時，，
所以F（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增
所以F（x）在[1，e]上單調(diào)遞增，其最小值為F（1）==0．
當(dāng)m＞0時，令，得到（舍）
當(dāng)時，即0＜m≤1時，F(xiàn)'（x）＞0對（1，e）恒成立，
所以F（x）在[1，e]上單調(diào)遞增，其最小值為F（1）=0
當(dāng)時，即m≥e²時，F(xiàn)'（x）＜0對（1，e）成立，
所以F（x）在[1，e]上單調(diào)遞減，
其最小值為
當(dāng)，即1＜m＜e²時，F(xiàn)'（x）＜0對成立，F(xiàn)'（x）＞0對成立
所以F（x）在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增
其最小值為．
綜上，當(dāng)m≤1時，F(xiàn)（x）在[1，e]上的最小值為F（1）=0．
當(dāng)1＜m＜e²時，F(xiàn)（x）在[1，e]上的最小值為．
當(dāng)m≥e²時，F(xiàn)（x）在[1，e]上的最小值為．
點(diǎn)評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)的切線方程，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，需要求函數(shù)在對應(yīng)開區(qū)間上的極值與區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值，然后進(jìn)行大小比較．此題屬中檔題．