Question

數(shù)列{a_n}中，Sn=4-an-

1

2n-2

．
（Ⅰ）求a₁，a₂，a₃，a₄；
（Ⅱ）猜想a_n的表達式，并用數(shù)學歸納法加以證明．

Answer 1

分析：（1）由Sn=4-an-

1

2n-2

．我們依次將n=1，2，3，4…代入，可以求出a₁，a₂，a₃，a₄；
（2）觀察（1）的結(jié)論，我們可以推斷出a_n的表達式，然后由數(shù)學歸納法的步驟，我們先判斷n=1時是否成立，然后假設當n=k時，公式成立，只要能證明出當n=k+1時，公式成立即可得到公式對所有的正整數(shù)n都成立．

解答：解：（Ⅰ）∵Sn=4-an-

1

2n-2

，∴a1=4-a1-

1

21-2

，即a₁=1，
∵S2=4-a2-

1

22-2

，即a₁+a₂=4-a₂-1，∴a₂=1，
∵S3=4-a3-

1

23-2

，即a₁+a₂+a₃=4-a₃-

1

2

，∴a₃=

3

4

，
∵S4=4-a4-

1

24-2

，即a₁+a₂+a₃+a₄=4-a₄-

1

4

，∴a₃=

1

2

，
（Ⅱ）猜想an=

n

2n-1

證明如下：①當n=1時，a₁=1，此時結(jié)論成立；
②假設當n=k（k∈N^*）結(jié)論成立，即

a

k

=

k

2k-1

，
那么當n=k+1時，有Sk=4-ak-

1

2k-2

=4-

2k

2k

-

4

2k

=4-

2k+4

2k

∵Sk+1=4-ak+1-

1

2k-1

=Sk+ak+1
∴2ak+1=4-

1

2k-1

-4+

2k+4

2k

=

2k+4-2

2k

=

2k+2

2k

即ak+1=

k+1

2k

，
這就是說n=k+1時結(jié)論也成立．
根據(jù)①和②，可知對任何n∈N^*時an=

n

2n-1

．

點評：數(shù)學歸納法的步驟：①證明n=1時A式成立②然后假設當n=k時，A式成立③證明當n=k+1時，A式也成立④下緒論：A式對所有的正整數(shù)n都成立．