Question

如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)P，Q分別在邊AB，AD上，且PQ=1，設(shè)AP+AQ=x，記△CPQ的面積函數(shù)為S=f（x）．
（1）當(dāng)AP=AQ時(shí)，求S的值；
（2）是否存在實(shí)數(shù)x，使得S=

2

3

？若存在，求出x的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：三角形的面積公式

專題：立體幾何

分析：（1）設(shè)∠AQP=θ，θ∈(0，

π

2

)．可得AQ=cosθ，AP=sinθ，BP=1-sinθ，DQ=1-cosθ．x=sinθ+cosθ=

2

sin(θ+

π

4

).x∈(1，

2

]．sinθcosθ=

x2-1

2

．因此△CPQ的面積函數(shù)為S=f（x）=12-

1

2

sinθcosθ-

1

2

(1-sinθ)×1-

1

2

(1-cosθ)×1=-

1

4

(x-1)2+

1

4

，當(dāng)AP=AQ，即sinθ=cosθ=

2

2

時(shí)，x=

2

，即可得出．
（2）令S=

2

3

，則

1

2

x-

x2-1

4

=

2

3

，化為3x²-6x+5=0，由于△=36-60＜0，因此此方程無(wú)解，即不存在x滿足條件．

解答： 解：（1）設(shè)∠AQP=θ，θ∈(0，

π

2

)．
則AQ=cosθ，AP=sinθ，BP=1-sinθ，DQ=1-cosθ．
x=sinθ+cosθ=

2

sin(θ+

π

4

).x∈(1，

2

]．
∴sinθcosθ=

x2-1

2

．
∴△CPQ的面積函數(shù)為S=f（x）=12-

1

2

sinθcosθ-

1

2

(1-sinθ)×1-

1

2

(1-cosθ)×1
=

1

2

(sinθ+cosθ)-

1

2

sinθcosθ
=

1

2

x-

x2-1

4

=-

1

4

(x-1)2+

1

4

，
當(dāng)AP=AQ，即sinθ=cosθ=

2

2

時(shí)，x=

2

，
∴S=f(

2

)=

2 2 -1

4

．
（2）令S=

2

3

，則

1

2

x-

x2-1

4

=

2

3

，化為3x²-6x+5=0，
∵△=36-60＜0，
因此此方程無(wú)解，
故存在實(shí)數(shù)x，使得S=

2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形與正方形的面積計(jì)算公式、二次函數(shù)的單調(diào)性、一元二次方程實(shí)數(shù)解與判別式的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．