Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，na_n+1=2（a₁+a₂+..+a_n）（n∈N^*）．
（1）求a₂，a₃，a₄；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項a_n；
（3）設(shè)數(shù)列{b_n}滿足b₁=，b_n+1=b_n²+b_n，求證：b_n＜1（n≤k）．

Answer 1

解：（1）a₂=2，a₃=3，a₄=4
（2）na_n+1=2（a₁+a₂+…+a_n）①
（n-1）a_n=2（a₁+a₂+…+a_n-1）②，
①-②得：na_n+1-（n-1）a_n=2a_n，即：na_n+1=（n+1）a_n，=
所以a_n=a₁••…=1••…=n（n≥2），所以a_n=n（n∈N^*）
（3）由（2）得：b₁=，b_n+1=b_n²+b_n＞b_n＞b_n-1＞…＞b₁＞0，
所以{b_n}是單調(diào)遞增數(shù)列，故要證：b_n＜1（n≤k）只需證b_k＜1
若k=1，則b₁=＜1，顯然成立；若k≥2，則b_n+1=b_n²+b_n＜b_nb_n+1+b_n
所以-＞-，因此：=（-）+…+（-）+＞-+2=
所以b_k＜＜1，
所以b_n＜1（n≤k）
分析：（1）把n=1，n=2，n=3，n=4分別代入已知遞推公式可求
（2）由已知na_n+1=2（a₁+a₂+…+a_n）=2S_n可得（n-1）a_n=2S_n-1，兩式相減可得，利用迭代可求a_n
（3））由（2）得：b₁=，b_n+1=b_n²+b_n＞b_n＞b_n-1＞…＞b₁＞0，
所以{b_n}是單調(diào)遞增數(shù)列，故要證：b_n＜1（n≤k）只需證b_k＜1即可
點評：本題主要考查了利用數(shù)列的遞推關(guān)系實現(xiàn)“項”與“和”之間的轉(zhuǎn)化，利用迭代的方法求數(shù)列的通項公式，數(shù)列的單調(diào)性的運用．