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16.如圖,在正三角形ABC中,D、E、F分別為各邊的中點,H、G、I、J分別為AD、AF、BE、DE的中點,則將△ABC沿DE、EF、DF折成三棱錐后,則異面直線GH與IJ所成的角的大小為( �。�
A.\frac{π}{4}B.\frac{π}{6}C.\frac{π}{3}D.\frac{π}{2}

分析 可根據(jù)條件畫出圖形,并可判斷該三棱錐為棱長等于底面邊長的正三棱錐,然后可分別用向量\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE},\overrightarrow{AF}表示出向量\overrightarrow{GH}\overrightarrow{IJ},從而可求出\overrightarrow{GH}•\overrightarrow{IJ},根據(jù)向量夾角的計算公式即可求出cos<\overrightarrow{GH},\overrightarrow{IJ}>,從而得出異面直線所成的角.

解答 解:如圖,根據(jù)題意知,折后的三棱錐為棱長和底面邊長都相等的正三棱錐,設棱長為1,且:
\overrightarrow{GH}=\overrightarrow{AH}-\overrightarrow{AG}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AF};
\overrightarrow{IJ}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AD};
|\overrightarrow{GH}|=\frac{1}{2},|\overrightarrow{IJ}|=\frac{1}{2},\overrightarrow{GH}•\overrightarrow{IJ}=\frac{1}{4}{\overrightarrow{AD}}^{2}-\frac{1}{4}\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{AD}=\frac{1}{4}-\frac{1}{8}=\frac{1}{8};
cos<\overrightarrow{GH},\overrightarrow{IJ}>=\frac{\overrightarrow{GH}•\overrightarrow{IJ}}{|\overrightarrow{GH}||\overrightarrow{IJ}|}=\frac{\frac{1}{8}}{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2};
∴直線GH與IJ所成的角的大小為\frac{π}{3}
故選C.

點評 考查正三棱錐的定義,能根據(jù)條件畫出折疊后的圖形,以及向量加法的平行四邊形法則,向量減法的幾何意義,以及三角形中位線的性質(zhì),向量夾角的余弦公式.

練習冊系列答案
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