Question

已知f（x）=ln（1+x²）+ax（a≤0）．
（Ⅰ）討論f（x）的單調(diào)性．
（Ⅱ）證明：（1+）•（1+）•…•（1+）＜e（n∈N^*，n≥2，其中無理數(shù)e=2.71828…）

Answer 1

解：（Ⅰ）f′（x）=-+a=
當a=0時，f′（x）=＞0?x＞0
∴f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，在（-∝，0）單調(diào)遞減．
當a＜0且ax²+2x+a=0的判別式△≤0，
即a≤-1時，f′（x）≤0對x∈R恒成立．
∴f（x）在R上單調(diào)遞減．
當-1＜a＜0時，由f′（x）＞0得：ax²+2x+a＞0
解得：
由f′（x）＜0可得：x＞或x＜
∴f（x）在[，]上單調(diào)遞增，
在（-∝，]，[，+∞）上單調(diào)遞減．
（Ⅱ）由（Ⅰ）當a=-1時，f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞減．
當x＞0時f（x）＜f（0）
∴l(xiāng)n（1+x²）-x＜0，即ln（1+x²）＜x
∴l(xiāng)n[（1+）•（1+）…（1+）]
=ln（1+）•（1+）…（1+）＜
＜=（1-）+（-）+…+（）=1-＜1
∴（1+）•（1+）…（1+）＜e．
分析：（I）先求導數(shù)fˊ（x），討論a的與0和-1的大小，在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，即可求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（II）先根據(jù)a=-1時，f（x）的單調(diào)性得到ln（1+x²）＜x，然后利用該不等式得到ln[（1+）•（1+）…（1+）]＜，最后利用放縮法進行化簡，利用裂項法進行求和即可證得結(jié)論．
點評：本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以及分類討論的數(shù)學思想，放縮法和裂項求和法的應用，屬于中檔題．