Question

已知雙曲線的左，右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，左準(zhǔn)線為l，若雙曲線的左支上存在一點P，使|PF₁|是P到l的距離d與|PF₂|的等比中項，則雙曲線的離心率不可能是

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

D
分析：設(shè)左支上存在P點，由雙曲線的第二定義知|PF₂|=e|PF₁|，再由雙曲線的第一定義，得|PF₂|-|PF₁|=2a由此推導(dǎo)出e²-2e-1≤0，解得1＜e≤1+與選項D：e=1+矛盾．從而斷定在雙曲線左支上找不到點P，使得|PF₁|是P到l的距離d與|PF₂|的等比中項．
解答：設(shè)在左支上存在P點，使|PF₁|²=|PF₂|•d，由雙曲線的第二定義知
==e，即|PF₂|=e|PF₁|①
再由雙曲線的第一定義，得|PF₂|-|PF₁|=2a．②
由①②，解得|PF₁|=，|PF₂|=，
∵|PF₁|+|PF₂|≥|F₁F₂|，
∴+≥2c．③
利用e=，由③得e²-2e-1≤0，
解得1-≤e≤1+．
∵e＞1，
∴1＜e≤1+與選項D：e=1+矛盾．
故選D．
點評：本題是雙曲線的綜合題，綜合利用雙曲線的第一定義和第二定義求解，在解題時要注意反證法的運用．