Question

如圖，在底面是菱形的四棱錐P-ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=1，PB=PD=

2

，點(diǎn)E在PD上，且PE：ED=2：1，
（1）求四棱錐P-ABCD的體積；
（2）在棱PC上是否存在一點(diǎn)F，使BF∥平面AEC？證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）由已知中底面是菱形的四棱錐P-ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=1，PB=PD=

2

，可由等邊三角形性質(zhì)及勾股定理得到PA與AB，AD均垂直，進(jìn)而根據(jù)線面垂直的判定定理得到PA垂直底面，即為棱錐P-ABCD的高，代入棱錐體積公式，可得答案．
（2）取棱PC的中點(diǎn)F，線段PE的中點(diǎn)M，連接BD．設(shè)BD∩AC=O．連接BF，MF，BM，OE．結(jié)合菱形的性質(zhì)及三角形中位線定理及面面平行的判定定理可得平面BMF∥平面AEC，進(jìn)而由面面平行的性質(zhì)得到BF∥平面AEC．

解答：解：（1）∵底面ABCD為菱形，∠ABC=60°
PA=AC=1，PB=PD=

2

，
∴△ABC是等邊三角形
∴AB=1
∴PB²=PA²+AB²，
∴PA⊥AB
同理PA⊥AD
又∵AB∩AD=A，
∴PA⊥平面ABCD
∴PA是四棱錐P-ABCD的高
∴VP-ABCD=

1

3

S菱形ABCD•PA=

3

6

…（5分）
（2）存在點(diǎn)F為PC的中點(diǎn)，使BF∥平面AEC（6分）
理由如下：
取棱PC的中點(diǎn)F，線段PE的中點(diǎn)M，連接BD．設(shè)BD∩AC=O．
連接BF，MF，BM，OE．
∵PE：ED=2：1，F(xiàn)為PC的中點(diǎn)，E是MD的中點(diǎn)，
∴MF∥EC，BM∥OE．…（8分）
∵M(jìn)F?平面AEC，CE?平面AEC，BM?平面AEC，OE?平面AEC，
∴MF∥平面AEC，BM∥平面AEC．…（10分）
∵M(jìn)F∩BM=M，
∴平面BMF∥平面AEC．…（11分）
又BF?平面BMF，
∴BF∥平面AEC．…（12分）

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是直線與平面平行的判定，棱錐的體積，其中（1）的關(guān)鍵是說明PA為棱錐的高，（2）的關(guān)鍵是證得平面BMF∥平面AEC．