Question

4．已知l是雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1的一條漸近線，P是l上的一點，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是C的兩個焦點，若$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，則P到x軸的距離為（　　）

• A． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• B． $\sqrt{2}$
• C． 2
• D． $\frac{2\sqrt{6}}{3}$

Answer 1

分析 求得雙曲線的a，b，c，可得焦點坐標和一條漸近線方程，設P（m，$\sqrt{2}$m），運用向量的數(shù)量積的坐標表示，解方程可得m，進而求得P到x軸的距離．

解答 解：雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1的a=$\sqrt{2}$，b=2，
c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=$\sqrt{6}$，
即有F₁（-$\sqrt{6}$，0），F(xiàn)₂（$\sqrt{6}$，0），
設漸近線l的方程為y=$\sqrt{2}$x，且P（m，$\sqrt{2}$m），
$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=（-$\sqrt{6}$-m，-$\sqrt{2}$m）•（$\sqrt{6}$-m，-$\sqrt{2}$m）
=（-$\sqrt{6}$-m）（$\sqrt{6}$-m）+（-$\sqrt{2}$m）²=0，
化為3m²-6=0，
解得m=±$\sqrt{2}$，
則P到x軸的距離為$\sqrt{2}$|m|=2．
故選：C．

點評 本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，主要是焦點和漸近線方程的運用，考查向量的數(shù)量積的坐標表示，以及化簡運算能力，屬于中檔題．