Question

12．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，過焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線被橢圓截得的弦長為$\sqrt{2}$．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若直線l₁經(jīng)過橢圓C的上頂點(diǎn)P且與圓x²+y²=4交于A，B兩點(diǎn)，過點(diǎn)P作l₁的垂線l₂交橢圓C于另一點(diǎn)D，當(dāng)△ABD的面積取得最大值時(shí)，求直線l₁的方程．

Answer 1

分析 （I）由題意可得：$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{2^{2}}{a}$=$\sqrt{2}$，又a²=b²+c²，聯(lián)立解出即可得出．
（II）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），D（x₀，y₀）．由題意可知直線l₁的斜率垂直，當(dāng)k=0時(shí)，直線l₁的方程為y=1，|AB|=2$\sqrt{3}$，直線l₂的方程為x=0，D（0，-1）．可得S_△ABD．當(dāng)k≠0時(shí)，設(shè)直線l₁的方程為y=kx+1．可得圓心O（0，0）到直線l₁的距離d，于是|AB|=2$\sqrt{4-bbu0vkd^{2}}$．由l₁⊥l₂，可得直線l₂的方程為：x+ky-k=0．與橢圓方程聯(lián)立解得x₀，可得|PD|=$\sqrt{1+\frac{1}{{k}^{2}}}$|x₀|．S_△ABD=$\frac{1}{2}|PD||AB|$，即可得出．

解答 解：（I）由題意可得：$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{2^{2}}{a}$=$\sqrt{2}$，又a²=b²+c²，
聯(lián)立解得b=c=1，a=$\sqrt{2}$．
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1．
（II）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），D（x₀，y₀）．
由題意可知直線l₁的斜率垂直，當(dāng)k=0時(shí)，直線l₁的方程為y=1，|AB|=2$\sqrt{3}$，
直線l₂的方程為x=0，D（0，-1）．
∴S_△ABD=$\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×2$=2$\sqrt{3}$．
當(dāng)k≠0時(shí)，設(shè)直線l₁的方程為y=kx+1．
∴圓心O（0，0）到直線l₁的距離d=$\frac{1}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$．
∴|AB|=2$\sqrt{4-8quxvnm^{2}}$=2$\sqrt{\frac{4{k}^{2}+3}{1+{k}^{2}}}$．
∵l₁⊥l₂，可得直線l₂的方程為：x+ky-k=0．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x+ky-k=0}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=2}\end{array}\right.$，化為：（2+k²）x²-4kx=0．
解得x₀=$\frac{4k}{2+{k}^{2}}$，
∴|PD|=$\sqrt{1+\frac{1}{{k}^{2}}}$$|\frac{4k}{2+{k}^{2}}|$=$\frac{4\sqrt{1+{k}^{2}}}{2+{k}^{2}}$．
S_△ABD=$\frac{1}{2}|PD||AB|$=$\frac{4\sqrt{4{k}^{2}+3}}{2+{k}^{2}}$．
設(shè)t=$\sqrt{4{k}^{2}+3}$$＞\sqrt{3}$，可得：k²=$\frac{{t}^{2}-3}{4}$，
則S_△ABD=$\frac{4t}{2+\frac{t-3}{4}}$=$\frac{16}{\frac{5}{t}+t}$≤$\frac{16}{2\sqrt{5}}$=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$，當(dāng)且僅當(dāng)t=$\sqrt{5}$，即k=$±\frac{\sqrt{2}}{2}$時(shí)取等號．
又$\frac{8\sqrt{5}}{5}$$＞2\sqrt{3}$，
∴直線l₁的方程為：y=$±\frac{\sqrt{2}}{2}$x+1．

點(diǎn)評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓及圓相交弦長問題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、三角形面積計(jì)算公式、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．