Question

四邊形ABCD的內(nèi)角A與C互補(bǔ)，AB=1，BC=3，CD=DA=2．
（1）求C和BD；
（2）求四邊形ABCD的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理,正弦定理

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）在三角形BCD中，利用余弦定理列出關(guān)系式，將BC，CD，以及cosC的值代入表示出BD²，在三角形ABD中，利用余弦定理列出關(guān)系式，將AB，DA以及cosA的值代入表示出BD²，兩者相等求出cosC的值，確定出C的度數(shù)，進(jìn)而求出BD的長(zhǎng)；
（2）由C的度數(shù)求出A的度數(shù)，利用三角形面積公式求出三角形ABD與三角形BCD面積，之和即為四邊形ABCD面積．

解答： 解：（1）在△BCD中，BC=3，CD=2，
由余弦定理得：BD²=BC²+CD²-2BC•CDcosC=13-12cosC①，
在△ABD中，AB=1，DA=2，A+C=π，
由余弦定理得：BD²=AB²+AD²-2AB•ADcosA=5-4cosA=5+4cosC②，
由①②得：cosC=

1

2

，
則C=60°，BD=

7

；
（2）∵cosC=

1

2

，cosA=-

1

2

，
∴sinC=sinA=

3

2

，
則S=

1

2

AB•DAsinA+

1

2

BC•CDsinC=

1

2

×1×2×

3

2

+

1

2

×3×2×

3

2

=2

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了余弦定理，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，以及三角形面積公式，熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵．