已知焦點在x軸上，中心在坐標原點的橢圓C的離心率為數(shù)學公式，且過點數(shù)學公式
（1）求橢圓C的標準方程
（2）直線l：y=kx+m分別切橢圓C與圓M：x2+y2=15于A、B兩點，求|AB|的值．

解：（1）設(shè)橢圓的方程為（a＞b＞0），則
∵橢圓C的離心率為，∴=，c=a，
∴b2=a2-c2=a2，
∵橢圓過點，∴，解得a2=25，∴b2=9，
故橢圓C的方程為（4分）
（2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）分別為直線l與橢圓和圓的切點，
直線AB的方程為y=kx+m代入橢圓方程，消去y得：（25k2+9）x2+50kmx+25（m2-9）=0，
由于直線與橢圓相切，故△=（50kmx）2-4（25k2+9）×25（m2-9）=0，從而可得：m2=9+25k2，①，x1=-，②
直線AB的方程為y=kx+m代入圓的方程，消去y得：（k2+1）x2+2kmx+m2-15=0，
由于直線與圓相切，得m2=15（1+k2），③，x2=-，④
由①③得：k2=，m2=24，由②④得：x2-x1=，（9分）
∴|AB|2=（x2-x1）2+（y2-y1）2=（1+k2）（x2-x1）2=（1+k2）×=4
∴|AB|=2，（12分）
分析：（1）設(shè)出橢圓的方程，根據(jù)離心率及橢圓過P求出待定系數(shù)，即得橢圓的方程．
（2）用斜截式設(shè)出直線的方程，代入橢圓、圓的方程，化為關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系，化簡|AB|的解析式，即可求得結(jié)論．
點評：本題考查用待定系數(shù)法求橢圓的標準方程，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是聯(lián)立方程，利用韋達定理求解．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，離心率為
3
2
，過點M（-1，0）的直線l與橢圓交于P、Q兩點．
（1）若直線l的斜率為1，且
PM
=-
3
5
QM
，求橢圓的標準方程；
（2）若（1）中橢圓的右頂點為A，直線l的傾斜角為α，問α為何值時，
AP
•
AQ
取得最大值，并求出這個最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•山東）在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C的中心在原點O，焦點在x軸上，短軸長為2，離心率為
2
2

（Ⅰ）求橢圓C的方程
（Ⅱ）A，B為橢圓C上滿足△AOB的面積為
6
4
的任意兩點，E為線段AB的中點，射線OE交橢圓C與點P，設(shè)
OP
=t
OE
，求實數(shù)t的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2008•深圳二模）已知橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，點F1、F2分別是橢圓的左、右焦點，在橢圓C的右準線上的點P(2，
3
)，滿足線段PF1的中垂線過點F2．直線l：y=kx+m為動直線，且直線l與橢圓C交于不同的兩點A、B．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若在橢圓C上存在點Q，滿足
OA
+
OB
=λ
OQ
（O為坐標原點），求實數(shù)λ的取值范圍；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，當λ取何值時，△ABO的面積最大，并求出這個最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在平面直角坐標系xOy中，已知焦點在x軸上的雙曲線的漸近線方程為x±2y=0，則該雙曲線的離心率為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知橢圓的中心在坐標原點，焦點在x軸上，并且焦距為2，短軸與長軸的比是
3
2
．
（1）求橢圓的方程；
（2）已知橢圓中有如下定理：過橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)上任意一點M（x0，y0）的切線唯一，且方程為
x0x
a2
+
y0y
b2
=1，利用此定理求過橢圓的點(1，
3
2
)的切線的方程；
（3）如圖，過橢圓的右準線上一點P，向橢圓引兩條切線PA，PB，切點為A，B，求證：A，F(xiàn)，B三點共線．

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