15．過(guò)拋物線x2=2py（p＞0且為常數(shù)）的焦點(diǎn)F作斜率為1的直線，交拋物線于A，B兩點(diǎn)，求證：線段AB的長(zhǎng)為定值．

分析 直線l的方程為：$y=x+\frac{p}{2}$與拋物線方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系，利用弦長(zhǎng)公式即可得出．

解答 證明：直線l的方程為：$y=x+\frac{p}{2}$…（2分）
聯(lián)立方程組$\left\{{\begin{array}{l}{y=x+\frac{p}{2}}\\{{x^2}=2py}\end{array}}\right.$得：${y^2}-3py+\frac{p^2}{4}=0$…（8分）
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則由韋達(dá)定理知y1+y2=3p…（12分）
所以AB=AF+BF=y1+y2+p=4p為定值…（16分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與拋物線相交轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、弦長(zhǎng)公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：選擇題

5．給出以下命題：
①若a＞b＞0，d＜c＜0，$\frac{{\sqrt{a}}}{c}＜\frac{{\sqrt}}eorfhao$；
②如果p1•p2≥4$\sqrt{{q_1}{q_2}}$，則關(guān)于x的實(shí)系數(shù)二次方程x2+p1x+q1=0，x2+p2x+q2=0中至少有一個(gè)方程有實(shí)根；
③若x≠kπ，k∈Z，則sinx+$\frac{1}{sinx}$≥2；
④當(dāng)x∈（0，2]時(shí)，f（x）=x-$\frac{1}{x}$無(wú)最大值．
其中真命題的序號(hào)是（　�。�
A．①②B．②③C．①②③D．①③④

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：選擇題

6．已知函數(shù)f（x）=（x+2）2，那么f（a+2）的值為（　�。�
A．a2+2B．a2C．a2+4a+6D．a2+8a+16

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：選擇題

3．下列說(shuō)法中正確的是（　�。�
A．若數(shù)列{an}是公差為1的等差數(shù)列，則數(shù)列{an+3}
是公差為4的等差數(shù)列
B．數(shù)列6，4，2，0 是公差為2的等差數(shù)列
C．若數(shù)列{an}等差，Sn是其前n項(xiàng)和，則數(shù)列$\{\frac{S_n}{n}\}$也等差
D．4與6的等差中項(xiàng)是±5

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：填空題

10．將編號(hào)為1、2、3、4、5的五名同學(xué)全部安排到A、B、C、D四個(gè)班級(jí)上課，每個(gè)班級(jí)至少安排一名同學(xué)，其中1號(hào)同學(xué)不能安排到A班，那么不同的安排方案共有180種．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：填空題

20．已知f（x）=x2+2x，則f′（0）=2．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

7．已知函數(shù)f（x）=x3-3x2+1．
（1）求f（x）在x=1處的切線方程；
（2）求f（x）的極值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：選擇題

4．橢圓$\frac{x^2}{{\sqrt{3m+1}}}$+$\frac{y^2}{2m}$=1的長(zhǎng)軸垂直x于軸，則m的取值范圍是（　�。�
A．m＞0B．0＜m＜1C．m＞1D．m＞0且m≠1

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：選擇題

5．用斜二側(cè)法畫(huà)水平放置的△ABC的直觀圖，得到如圖所示等腰直角△A′B′C′．已知點(diǎn)O′是斜邊B′C′的中點(diǎn)，且A′O′=1，則△ABC的BC邊上的高為（　�。�
A．1B．2C．$\sqrt{2}$D．2$\sqrt{2}$

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案