【題目】【2017屆湖北省荊、荊、襄、宜四地七校考試聯(lián)盟高三2月聯(lián)考數學(文)】已知函數.
(Ⅰ)討論函數的極值點的個數;
(Ⅱ)若有兩個極值點,證明:.
【答案】(Ⅰ)(。時,僅有一個極值點;(ⅱ) 當時,無極值點;
(ⅲ)當時,有兩個極值點.(Ⅱ)詳見解析
【解析】試題分析:(Ⅰ)先求導數,再確定導函數零點情況,這需分類討論:一次與二次的討論,二次中有根與無根的討論,兩根情況分相等、一正一負、兩不等正根,最后根據對應情況確定導函數符號變化規(guī)律,確定對應極值點個數;(Ⅱ)由(Ⅰ)先確定有兩個極值點時,的取值范圍,以及滿足條件,再化簡為的函數,最后根據導數確定對應函數單調性,根據單調性證明不等式.
試題解析:解:(Ⅰ)由得,
(ⅰ)時, ,
所以取得極小值,是的一個極小值點.
(ⅱ)時,,令,得
顯然,,所以,
在取得極小值,有一個極小值點.
(ⅲ)時,時,即在是減函數,無極值點.
當時,,令,得
當和時,時,,所以在取得極小值,在取得極大值,所以有兩個極值點.
綜上可知:(。時,僅有一個極值點;
(ⅱ) 當時,無極值點;
(ⅲ)當時,有兩個極值點.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,當且僅當時,有極小值點和極大值點,且
是方程的兩根,所以,
,
設,,
所以時,是減函數,,則
所以得證.
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【題目】已知定義在上的函數 和的圖象如圖
給出下列四個命題:
①方程有且僅有個根;②方程有且僅有個根;
③方程有且僅有個根;④方程有且僅有個根;
其中正確命題的序號是( )
A. ①②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①③④
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【題目】一個袋中有7個大小、形狀相同的小球,6個白球1個紅球.現任取1個,若為紅球就停止,若為白球就放回,攪拌均勻后再接著。囋O計一個模擬試驗,計算恰好第三次摸到紅球的概率.
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【題目】某廠商調查甲、乙兩種不同型號電視機在10個賣場的銷售量(單位:臺),并根據這10個賣場的銷售情況,得到如圖所示的莖葉圖.
為了鼓勵賣場,在同型號電視機的銷售中,該廠商將銷售量高于數據平均數的賣場命名為該型號電視機的“星級賣場”.
(1)當時,記甲型號電視機的“星級賣場”數量為,乙型號電視機的“星級賣場”數量為,比較的大小關系;
(2)在這10個賣場中,隨機選取2個賣場,記為其中甲型號電視機的“星級賣場”的個數,求的分布列和數學期望;
(3)若,記乙型號電視機銷售量的方差為,根據莖葉圖推斷為何值時,達到最小值.(只需寫出結論)
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【題目】【2017屆廣西陸川縣中學高三文上學期二模】已知函數.
(I)求函數的單調區(qū)間;
(II)若在上恒成立,求實數的取值范圍;
(III)在(II)的條件下,對任意的,求證:.
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【題目】【2017屆安徽百校論壇高三文上學期聯(lián)考二】已知函數.
(1)若對恒成立,求實數的取值范圍;
(2)是否存在整數,使得函數在區(qū)間上存在極小值,若存在,求出所有整數的值;若不存在,請說明理由.
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【題目】選修4-4:坐標系與參數方程
在平面直角坐標系中,以坐標原點為極點,軸的非負半軸為極軸建立極坐標系,已知曲線的極坐標方程為,它在點處的切線為直線.
(Ⅰ)求直線的直角坐標方程;
(Ⅱ)已知點為橢圓上一點,求點到直線的距離的取值范圍.
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【題目】某商場經營一批進價為元/臺的小商品,經調查得知如下數據.若銷售價上下調整,銷售量和利潤大體如下:
銷售價(元/臺) | ||||
日銷售量(臺) | ||||
日銷售額(元) | ||||
日銷售利潤(元) |
(1)在下面給出的直角坐標系中,根據表中的數據描出實數對的對應點,并寫出與的一個函數關系式;
(2)請把表中的空格里的數據填上;
(3)根據表中的數據求與的函數關系式,并指出當銷售單價為多少元時,才能獲得最大日銷售利潤?
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