Question

已知函數(shù)f（x）=-x³+12x，（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)x∈[-3，1]時(shí)，求函數(shù)的最大值與最小值．

Answer 1

分析：（1）先對(duì)函數(shù)f（x）求導(dǎo)數(shù)f'（x），然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)f'（x）的零點(diǎn)得出導(dǎo)數(shù)大于零和導(dǎo)數(shù)小于零的區(qū)間，導(dǎo)數(shù)大于零的區(qū)間是函數(shù)的增區(qū)間，而導(dǎo)數(shù)小于零的區(qū)間是函數(shù)的減區(qū)間；
（2）根據(jù)（1）將區(qū)間[-3，1]，分成兩段：在區(qū)間（-3，-2）上函數(shù)為減函數(shù)，在區(qū)間（-2，1）上函數(shù)為增函數(shù)．從而得到f（-2）是函數(shù)的最小值，而最大值是f（-3）和f（1）兩者的較大者．

解答：解：（1）∵f'（x）=-3x²+12=-3（x-2）（x+2），
由f'（x）＞0，得x∈（-2，2），∴x∈（-2，2）時(shí)，函數(shù)為增函數(shù)；
同理x∈（-∞，-2）或x∈（2，+∞）時(shí)，函數(shù)為減函數(shù)．
綜上所述，函數(shù)的增區(qū)間為（-2，2）；減區(qū)間為（-∞，-2）和（2，+∞）…（4分）
（2）由（1）結(jié)合x∈[-3，1]，得下表：

x	-3	（-3，-2）	-2	（-2，1）	1
f'（x）		-	0	+
f（x）	端點(diǎn)函數(shù)值 f（-3）=-9	單調(diào) 遞減	極小值f（-2）=-16	單調(diào) 遞增	端點(diǎn)函數(shù)值 f（1）=11

比較端點(diǎn)函數(shù)及極值點(diǎn)的函數(shù)值，得
x=-2時(shí)，f（x）_min=f（x）_極小值=f（-2）=-16，
x=1時(shí)，f（x）_max=f（1）=11
綜上所述，函數(shù)的最大值為11，最小值為-16…（8分）

點(diǎn)評(píng)：本題著重考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值等等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．