如圖，已知是底面為正方形的長(zhǎng)方體，，，點(diǎn)是上的動(dòng)點(diǎn)．

（1）試判斷不論點(diǎn)在上的任何位置，是否都有平面垂直于平面？并證明你的結(jié)論；

（2）當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，求異面直線與所成角的余弦值；

（3）求與平面所成角的正切值的最大值．

（1）不論點(diǎn)在上的任何位置，都有平面垂直于平面.

證明如下：由題意知，，   又 

  平面  又平面   平面平面．

（2）解法一：過點(diǎn)P作，垂足為，連結(jié)（如圖），則，

是異面直線與所成的角．

在中 ∵   ∴

∴,   ，      

 ．  又．

在中，   ．

異面異面直線與所成角的余弦值為．

解法二：以為原點(diǎn)，所在的直線為x軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖示，則，，，，，

∴．

∴異面異面直線與所成角的余弦值為．

（3）由（1）知，平面，是與平面所成的角，

且．

當(dāng)最小時(shí)，最大，這時(shí)，由

得，即與平面所成角的正切值的最大值．

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，已知六棱錐P-ABCDEF的底面是正六邊形，PA⊥平面ABC，PA=2AB，給出下列結(jié)論：①PB⊥AE；②平面ABC⊥平面PBC；③直線BC∥平面PAE；④∠PDA=45°；⑤直線PD與平面PAB所成角的余弦值為
10
4
．其中正確的有
①④⑤
①④⑤
（把所有正確的序號(hào)都填上）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•肇慶二模）如圖，ABCDEF-A1B1C1D1E1F1是底面半徑為1的圓柱的內(nèi)接正六棱柱（底面是正六邊形，側(cè)棱垂直于底面），過FB作圓柱的截面交下底面于C1E1，已知FC1=
13
．
（1）證明：四邊形BFE1C1是平行四邊形；
（2）證明：FB⊥CB1；
（3）求三棱錐A-A1BF的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，已知是正三棱柱（底面為正三角形，側(cè)棱垂直于底面），它的底面邊長(zhǎng)和側(cè)棱長(zhǎng)都是．為側(cè)棱的中點(diǎn)，為底面一邊的中點(diǎn)．

  （1）求異面直線與所成的角；

  （2）求證：；

（3）求直線到平面的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，ABCDEF-A1B1C1D1E1F1是底面半徑為1的圓柱的內(nèi)接正六棱柱（底面是正六邊形，側(cè)棱垂直于底面），過FB作圓柱的截面交下底面于C1E1，已知數(shù)學(xué)公式．
（1）證明：四邊形BFE1C1是平行四邊形；
（2）證明：FB⊥CB1；
（3）求三棱錐A-A1BF的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2012年廣東省肇慶市高考數(shù)學(xué)二模試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

如圖，ABCDEF-A1B1C1D1E1F1是底面半徑為1的圓柱的內(nèi)接正六棱柱（底面是正六邊形，側(cè)棱垂直于底面），過FB作圓柱的截面交下底面于C1E1，已知．
（1）證明：四邊形BFE1C1是平行四邊形；
（2）證明：FB⊥CB1；
（3）求三棱錐A-A1BF的體積．

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