Question

已知全集U=R，非空集合A={x|

x-2

x-(3a+1)

＜0}，B={x|

x-a2-2

x-a

＜0}．
（Ⅰ）當a=

1

2

時，求（?_UB∩A）；
（Ⅱ）命題p：x∈A，命題q：x∈B，若q是p的必要條件，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求出集合A、B，再求出C_U^B，借助數(shù)軸求出，（C_U^B）∩A．
（Ⅱ）由題意知，p?q，可知A⊆B，B={x|a＜x＜a²+2}．對于集合A，其解集的端點是 3a+1和2，大小有三種情況，在每種情況下，求出集合A，借助數(shù)軸列出A⊆B時區(qū)間端點間的大小關(guān)系，解不等式組求出a的范圍．

解答：解：（Ⅰ）當a=

1

2

時A={x|2＜x＜

5

2

}，B={x|

1

2

＜x＜

9

4

}，（2分）
C_U^B={x|x≤

1

2

或x≥

9

4

}，（C_U^B）∩A={x|

9

4

≤x＜

5

2

}．（4分）
（Ⅱ）由q是p的必要條件，即p?q，可知A⊆B．（6分）
由a²+2＞a，得 B={x|a＜x＜a²+2}．（8分）
①當3a+1＞2，即a＞

1

3

時，A={x|2＜x＜3a+1}，再由

a≤2 a2+2≥3a+1

，解得

1

3

＜a≤

3- 5

2

．
②當3a+1=2，即a=

1

3

時，A=∅，不符合題意；
③當3a+1＜2，即a＜

1

3

時，A={x|3a+1＜x＜2}，再由

a≤3a+1 a2+2≥2

，解得 -

1

2

≤ a ＜

1

3

．
綜上，a∈[-

1

2

，

1

3

)∪(

1

3

 ，

3- 5

2

]．（12分）

點評：本題考查2個集合間的交、并、補運算方法以及A⊆B時2個區(qū)間端點之間的大小關(guān)系（借助數(shù)軸列出不等關(guān)系），
體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想．