Question

如圖，已知橢圓的離心率為，其右焦點(diǎn)F是圓（x-1）²+y²=1的圓心．
（1）求橢圓方程；
（2）過(guò)所求橢圓上的動(dòng)點(diǎn)P作圓的兩條切線分別交y軸于M（0，m），N（0，n）兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）先利用圓心坐標(biāo)求出焦點(diǎn)坐標(biāo)以及c值，再利用離心率求出a，即可求出橢圓方程．
（2）先利用條件求出直線PM的方程，再利用直線PM與圓相切求出m與點(diǎn)P坐標(biāo)之間的關(guān)系，同樣求出n與點(diǎn)P坐標(biāo)之間的關(guān)系，再把所求代入已知并利用點(diǎn)P在橢圓上，可以求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．
解答：解：（1）因?yàn)閳A（x-1）²+y²=1的圓心是（1，0），
所以橢圓的右焦點(diǎn)為F（1，0），
∴橢圓的離心率是，
∴
∴a²=2，b²=1，所以橢圓方程為．（4分）
（2）設(shè)P（x，y），
由，
得或（舍），
∴．（5分）
直線PM的方程：，
化簡(jiǎn)得（y-m）x-xy+xm=0．
又圓心F（1，0）到直線PM的距離為1，
∴
∴（y-m）²+x²=（y-m）²+2xm（y-m）+x²m²
化簡(jiǎn)得：（x-2）m²+2ym-x=0，（7分）
同理：（x-2）n²+2yn-x=0，（9分）
∴=
∵P（x，y）在橢圓上∴
∴，（11分）
∴，∴（舍）或∴
所以，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)是．（12分）．
點(diǎn)評(píng)：本題的易錯(cuò)點(diǎn)在與忘記看點(diǎn)P所在位置，而把兩個(gè)結(jié)果都要．