Question

4．如圖，正方形ABCD的邊長為1，E，F(xiàn)分別為BC，CD上異于端點的點，△ECF的周長為2，∠BAE=α，∠DAF=β．
（Ⅰ）當(dāng)E為BC中點時，求tan（α+β）的值；
（Ⅱ）求$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{AF}$的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)解直角三角形，和兩角和正弦公式，即可求出，
（Ⅱ）根據(jù)解三角形和三角形的周長公式，能求出a+β=$\frac{π}{4}$，再根據(jù)向量的數(shù)量積，以及三角函數(shù)的性質(zhì)即可求出

解答 解：（Ⅰ）∵E為BC中點，
∴CE=$\frac{1}{2}$，
在Rt△ECF中，設(shè)CF=t，
則 EF=$\sqrt{{t}^{2}+（\frac{1}{2}）^{2}}$，
∵△ECF的周長為2，
∴$\frac{1}{2}$+t+=$\sqrt{{t}^{2}+（\frac{1}{2}）^{2}}$=2，
解得t=$\frac{2}{3}$，即CF=$\frac{2}{3}$；                     
在Rt△ABE中，AB=1，BE=$\frac{1}{2}$，∠BAE=α，
∴tanα=$\frac{1}{2}$，
在Rt△ADF中，AD=1，DF=$\frac{1}{3}$，∠DAF=β，
∴tanβ=$\frac{1}{3}$，…（2分）
∴tan（α+β）=$\frac{tanα+tanβ}{1-tanαtanβ}$=1   …（3分）
（Ⅱ）在Rt△ABE中，AB=1，∠BAE=α，
∴BE=tanα∈（0，1），AE=$\frac{1}{cosα}$，
在Rt△ADF中，AD=1，∠DAF=β，
∴DF=tanβ∈（0，1），AF=$\frac{1}{cosβ}$  …（4分）
∴在Rt△ECF中，CE=1-tanα，CF=1-tanβ，
∴EF=$\sqrt{（1-tanα）^{2}+（1-tanβ）^{2}}$，
∵△ECF的周長為2，
∴1-tanα+1-tanβ+$\sqrt{（1-tanα）^{2}+（1-tanβ）^{2}}$=2…（5分）
化簡得 tanα+tanβ=1-tanαtanβ，
∴tan（α+β）=$\frac{tanα+tanβ}{1-tanαtanβ}$=1   …（6分）
又∵0＜α+β＜$\frac{π}{2}$，
∴a+β=$\frac{π}{4}$，…（7分）
∴∠EAF=$\frac{π}{2}$-（α+β）=$\frac{π}{4}$
∴$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{AF}$=|$\overrightarrow{AE}$|•|$\overrightarrow{AF}$|•cos∠EAF=$\frac{1}{cosα}$•$\frac{1}{cosβ}$•cos$\frac{π}{4}$ …（8分）
=$\frac{\sqrt{2}}{2cosαcos（\frac{π}{4}-α）}$=$\frac{2}{\sqrt{2}sin（2α+\frac{π}{4}）+1}$  …（10分）
∵0＜α＜$\frac{π}{4}$，
∴$\frac{π}{4}$＜2α+$\frac{π}{4}$＜$\frac{3π}{4}$，…（11分）
∴當(dāng) 2α+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$，即a=$\frac{π}{8}$時，sin（2α+$\frac{π}{4}$）取得最大值1，
即$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{AF}$取得最小值$\frac{2}{\sqrt{2}+1}$=2（$\sqrt{2}$-1）．…（12分）

點評 本題考查了解三角形的有關(guān)問題，以及三角函數(shù)的化簡，以及向量的數(shù)量積公式和正弦函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．