Question

17．已知函數(shù)f（x）=x+alnx，在x=1處的切線與直線x+2y=0垂直，函數(shù)$g（x）=f（x）+\frac{1}{2}{x^2}-bx$．
（1）求實(shí)數(shù)a的值；
（2）設(shè)x₁，x₂（x₁＜x₂）是函數(shù)g（x）的兩個(gè)極值點(diǎn)，若$b≥\frac{13}{3}$，求g（x₁）-g（x₂）的最小值．

Answer 1

分析 （1求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用切線與已知直線垂直，列出方程，即可求解a的值．
（2）求出g'（x），列出求解函數(shù)的極值點(diǎn)的方程，利用韋達(dá)定理，化簡(jiǎn)g（x₁）-g（x₂），構(gòu)造新函數(shù)，通過新函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值．

解答 解：（1）直線x+2y=0的斜率為-$\frac{1}{2}$；
故在x=1處的切線的斜率為2；
f′（x）=1+$\frac{a}{x}$，
故f′（1）=1+a=2；
解得，a=1．
（2）$g（x）=f（x）+\frac{1}{2}{x^2}-bx$=x+lnx+$\frac{1}{2}$x²-bx，x＞0
∴g′（x）=1+$\frac{1}{x}$+x-b=$\frac{{x}^{2}-（b-1）x+1}{x}$
令g′（x）=0，得x²-（b-1）x+1=0，∴x₁+x₂=b-1，x₁x₂=1，
∴g（x₁）-g（x₂）=（x₁+lnx₁+$\frac{1}{2}$x₁²-bx₁）-（x₂+lnx₂+$\frac{1}{2}$x₂²-bx₂）=ln$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$+$\frac{1}{2}$（x₁²-x₂²）-（b-1）（x₁-x₂）=ln$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$+$\frac{1}{2}$（$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$-$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$），
∵0＜x₁＜x₂，設(shè)t=$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$，（0＜t＜1）
設(shè)h（x）=lnt-$\frac{1}{2}$（t-$\frac{1}{t}$），
則h′（x）=$\frac{1}{t}$-$\frac{1}{2}$（1+$\frac{1}{{t}^{2}}$）=-$\frac{（t-1）^{2}}{2{t}^{2}}$＜0
∴（x₁+x₂）²=$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=t+$\frac{1}{t}$+2≥$\frac{100}{9}$
∵0＜t＜1，
∴9t²-82t+9≥0
解0＜$\frac{1}{9}$≤t，
∴h（t）≥h（$\frac{1}{9}$）=ln$\frac{1}{9}$-$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{9}$-9）=$\frac{40}{9}$-ln9
∴g（x₁）-g（x₂）的最小值$\frac{40}{9}$-ln9

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的極值的求法韋達(dá)定理以及構(gòu)造法的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．