Question

已知實數(shù)x、y滿足（x-2）²+（y-1）²≤5且x≥0，y≥0．
（1）求（x+1）²+（y-1）²的取值范圍．
（2）若z=2x+y，求z得最大值．

Answer 1

分析：畫出已知條件表示的區(qū)域，
（1）通過（x+1）²+（y-1）²的幾何意義求解取值范圍即可．
（2）通過平移直線2x+y=0，與圖形表示的圓相切時，求出z得最大值．

解答：（本題13分）
解：）（x-2）²+（y-1）²=5的圓心坐標D（2，1），半徑為

5

，實數(shù)x、y滿足（x-2）²+（y-1）²≤5且x≥0，
y≥0．
表示的區(qū)域如圖陰影部分．
（1）（x+1）²+（y-1）²的幾何意義是陰影區(qū)域內的點到C（-1，1）距離的平方，連結CD交y軸于B，延長CD交圓于A，
因為CD的縱坐標相同，所以CB⊥y軸，
由圖形可知最小值為CB²，最大值為：AC²．
BC²=1，AC²=（CD+AD）²=（3+

5

）²=9+6

5

+5=14+6

5

（x+1）²+（y-1）²的取值范圍：[1，14+6

5

]．
（2）（x-2）²+（y-1）²=5的圓心坐標（2，1），半徑為

5

，
圓心到z=2x+y的距離≤

5

，
可得

|2×2+1×1-z|

22+1

≤

5

，即|5-z|≤5，解得z=0或z=10，
所以z_max=10；

點評：本題考查直線與圓的位置關系的應用，線性規(guī)劃的應用，考查計算能力以及轉化思想．