Question

12．如圖所示，已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦點為F，過F的直線l交雙曲線的漸近線于A，B兩點，且直線l的傾斜角是漸近線OA傾斜角的2倍，若$\overrightarrow{AF}=2\overrightarrow{FB}$，則該雙曲線的離心率為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 先求出直線l的方程為y=$\frac{2ab}{{a}^{2}-^{2}}$（x-c），與y=±$\frac{a}$x聯(lián)立，可得A，B的縱坐標，利用$\overrightarrow{AF}=2\overrightarrow{FB}$，求出a，b的關系，即可求出該雙曲線的離心率．

解答 解：雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，
∵直線l的傾斜角是漸近線OA傾斜角的2倍，
∴k_l=$\frac{2ab}{{a}^{2}-^{2}}$，
∴直線l的方程為y=$\frac{2ab}{{a}^{2}-^{2}}$（x-c），
與y=±$\frac{a}$x聯(lián)立，可得y=-$\frac{2abc}{3{a}^{2}-^{2}}$或y=$\frac{2abc}{{a}^{2}+^{2}}$，
∵$\overrightarrow{AF}=2\overrightarrow{FB}$，
∴$\frac{2abc}{{a}^{2}+^{2}}$=2•$\frac{2abc}{3{a}^{2}-^{2}}$，
∴a=$\sqrt{3}$b，
∴c=2b，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故答案為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查雙曲線的簡單性質，考查向量知識，考查學生的計算能力，屬于中檔題．