Question

如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，AD=1，A₁A=1．
（1）求證：直線BC₁∥平面D₁AC．
（2）求D₁C與平面D₁BC₁所成角的正弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）利用線面平行的判定定理，只要判斷直線BC₁與AD₁平行即可；
（2）以D₁為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以D₁A₁，D₁C₁，D₁D為x，y，z軸作空間直角坐標(biāo)系，寫出所需點(diǎn)的坐標(biāo)，利用平面的法向量與直線向量的夾角的余弦值等于線面角的正弦值解答．

解答： （1）證明：∵幾何體為長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，
∴AB∥C₁D₁，AB=C₁D₁，
∴AD₁∥BC₁，
∵AD₁?平面ACD₁，BC₁?平面ACD₁
∴直線BC₁∥平面ACD₁；
（2）解：以D₁為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以D₁A₁，D₁C₁，D₁D為x，y，z軸作空間直角坐標(biāo)系，
∵長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，AD=1，AA₁=1，
∴D₁（0，0，0），A（1，0，1），C（0，2，1），B（1，2，1）
∴

AB

=（0，2，0），

AC

=（-1，2，0），

AD1

=（1，0，1），
設(shè)平面ACD₁的一個(gè)法向量為

n

=（x，y，z），
則

n • AB =0 n • AD1 =0

，即

-x+2y=0 x+z=0

，令y=1，則

n

=（2，1，-1），
∴直線AB與平面ACD₁所成角的正弦值等于cos＜

n

，

AB

＞=

n • AB

| n || AB |

=

2

2× 6

=

6

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了線面平行的判定和利用空間向量求線面角；關(guān)鍵是適當(dāng)建立坐標(biāo)系，正確寫出向量的坐標(biāo)，利用向量的數(shù)量積解答，屬于中檔題．