Question

已知函數(shù)f（x）=（ax+1）e^x．
（I）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)a＞0時(shí)，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[2，0]上的最小值．

Answer 1

解：定義域?yàn)镽，f′（x）=（ax+1）′e^x+（ax+1）（e^x）′=e^x（ax+a+1），
（Ⅰ）①當(dāng)a=0時(shí)，f′（x）=e^x＞0，則f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，+∞）；
②當(dāng)a＞0時(shí)，解f′（x）＞0得，，解f′（x）＜0得，，
則f（x）的單調(diào)增區(qū)間為，f（x）的單調(diào)減區(qū)間為；
③當(dāng)a＜0時(shí)，解f′（x）＞0得，，解f′（x）＜0得，，
則f（x）的單調(diào)增區(qū)間為，f（x）的單調(diào)減區(qū)間為；
（Ⅱ）①當(dāng)時(shí)，即當(dāng)a＞1時(shí)，f（x）在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，
則函數(shù)f（x）在區(qū)間[-2，0]上的最小值為 ；
②當(dāng)時(shí)，即當(dāng)0＜a≤1時(shí)，f（x）在[-2，0]上是增函數(shù)，
則函數(shù)f（x）在區(qū)間[-2，0]上的最小值為，
綜上：當(dāng)a＞1時(shí)，f（x）在區(qū)間[-2，0]上最小值為，當(dāng)0＜a≤1時(shí)，f（x）在區(qū)間[-2，0]上最小值為．
分析：（I）求導(dǎo)數(shù)f′（x），在定義域內(nèi)解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0，分a=0，a＞0，a＜0三種情況進(jìn)行討論即可解得，由導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性關(guān)系即得單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）根據(jù)（I）中a＞0時(shí)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行討論：按極值點(diǎn)x=在區(qū)間[-2，0]左側(cè)、區(qū)間內(nèi)兩種情況討論，由單調(diào)性即可得到最小值；
點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，考查分類討論思想，屬中檔題．