Question

【題目】已知函數(shù)與有相同的極值點(diǎn)．

(I)求函數(shù)的解析式；

(II)證明：不等式（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）；

(III)不等式對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。

Answer 1

【答案】（I）；（II）詳見(jiàn)解析；（III）， +2ln3]∪（1，+∞）.

【解析】試題分析：（Ⅰ）先求出函數(shù)的極值點(diǎn)且為極小值點(diǎn)為，因?yàn)楹瘮?shù)與有相同的極值點(diǎn)，即，求出，再驗(yàn)算是否使得在取得極小值即可；(II)將不等式化為，證明要證不等式，即證，設(shè)，求出的最小值為，即，設(shè)， 是減函數(shù)， ，所以，即，所以不等式恒成立；(III)分別求出， 在區(qū)間上的最大值和最小值，然后分兩種情況：1°b﹣1＞0，對(duì)于對(duì)于（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），不等式恒成立，等價(jià)于b﹣1≥[f（x1）﹣g（x2）]max； ；2°b﹣1＜0對(duì)于不等式恒成立，等價(jià)于b﹣1≤[f（x1）﹣g（x2）]min， ，故實(shí)數(shù)b的取值范圍為， +2ln3]∪（1，+∞）

試題解析：（Ⅰ）∵函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞），

， ，

令得或（舍），

∴在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減，

∴函數(shù)的極（最）大值為f（1）=﹣1，即是函數(shù)的極值點(diǎn)．

∵，∴．

由上知， 是函數(shù)的極值點(diǎn)，又∵與有相同極值點(diǎn)，

∴是函數(shù)的極值點(diǎn)，∴，解得．

經(jīng)驗(yàn)證，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在時(shí)取到極小值，符合題意．

所以．

（Ⅱ）不等式可化為，所以

要證不等式，即證．

設(shè)，則，

在上， ， 是減函數(shù)；在上， ， 是增函數(shù)．

所以，

設(shè)， 是減函數(shù)， ，

所以，

所以，即，

所以不等式恒成立．

（Ⅲ）∵， ， ，

因?yàn)椹?+2ln3＜＜﹣1，即．

∴， ， ．

由（Ⅰ）知，∴．

當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)， ．

故在上為減函數(shù)，在（1，3]上為增函數(shù)．

∵，g（1）=2，g（3）=3+=，而2＜e+＜．

∴， ， ．

1°當(dāng)b﹣1＞0，即b＞1時(shí)，對(duì)于對(duì)于（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），

不等式恒成立，

等價(jià)于b﹣1≥[f（x1）﹣g（x2）]max，等價(jià)于b≥[f（x1）﹣g（x2）]max+1，

∵，

∴b≥﹣3+1=﹣2，

又∵b＞1，∴b＞1．

2°當(dāng)b﹣1＜0，即b＜1時(shí)，對(duì)于不等式恒成立，

等價(jià)于b﹣1≤[f（x1）﹣g（x2）]min，等價(jià)于b≤f（x1）﹣g（x2）]min+1，

，

∴b≤﹣+2ln3，

又∵b＜1，∴b≤﹣+2ln3，

綜上，所求實(shí)數(shù)b的取值范圍為， +2ln3]∪（1，+∞）．