Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，點(diǎn)在直線(xiàn)上，數(shù)列{b_n}滿(mǎn)足b_n+2-2b_n+1+b_n=0（n∈N*），且b₃=11，前9項(xiàng)和為153．
（1）求數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列前n項(xiàng)的和．

Answer 1

解：（1）由題意可知，∴
n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=n+5
n=1時(shí)，a₁=S₁=6也適合
∴a_n=n+5；
∵b_n+2-2b_n+1+b_n=0，∴b_n+2-b_n+1=b_n+1-b_n，
∴{b_n}是等差數(shù)列
∵前9項(xiàng)和為153
∴=9b₅=153，∴b₅=17
∵b₃=11，∴公差d==3
∴b_n=3n+2；
（2）設(shè)數(shù)列前n項(xiàng)的和T_n，則
T_n=2⁶×5+2⁷×8+…+2ⁿ⁺⁵•（3n+2）①
∴2T_n=2⁷×5+2⁸×8+…+2ⁿ⁺⁶•（3n+2）②
①-②：-T_n=2⁶×5+3×（2⁷+2⁸+…+2ⁿ⁺⁵）-2ⁿ⁺⁶•（3n+2）=-2⁶-（3n-1）•2ⁿ⁺⁶
∴
分析：（1）利用點(diǎn)在直線(xiàn)上，求得S_n，再寫(xiě)一式，兩式相減，可得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；確定數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，利用b₃=11，前9項(xiàng)和為153，即可求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）利用錯(cuò)位相減法，可求數(shù)列前n項(xiàng)的和．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和，考查數(shù)列與函數(shù)的聯(lián)系，正確運(yùn)用求和公式是關(guān)鍵．