Question

13．如圖，矩形ABCD中AD邊的長為1，AB邊的長為2，矩形ABCD位于第一象限，且頂點(diǎn)A，D分別位于x軸、y軸的正半軸上（含原點(diǎn)）滑動(dòng)，則$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}$的最大值是6．

Answer 1

分析 設(shè)A（a，0），D（0，b），∠BAX=θ，利用AD=1得出a，b之間的關(guān)系，用a，b，θ表示出B，C的坐標(biāo)，代入數(shù)量積公式運(yùn)算得出關(guān)于θ的三角函數(shù)，利用三角函數(shù)的性質(zhì)求出最大值．

解答 解：如圖，設(shè)A（a，0），D（0，b），∠BAX=θ，
則B（a+2cosθ，2sinθ），C（2cosθ，b+2sinθ）．
∵AD=1，
∴a²+b²=1．
∴$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}$=2cosθ（a+2cosθ）+2sinθ（b+2sinθ）
=4+2acosθ+2bsinθ=4+$\sqrt{4{a}^{2}+4^{2}}$sin（θ+φ）=4+2sin（θ+φ）．
∴$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}$的最大值是4+2=6．
故答案為：6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，利用坐標(biāo)法求解起到事半功倍的效果，是中檔題．