Question

給定拋物線C：y²=4x，F(xiàn)是C的焦點(diǎn)，過點(diǎn)F的直線l與C相交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（Ⅰ）設(shè)l的斜率為1，求以AB為直徑的圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)|FA|=2|BF|，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)，聯(lián)立中心與拋物線組成方程組，求得AB的中點(diǎn)坐標(biāo)，求出AB的長(zhǎng)，然后求以AB為直徑的圓的方程；還可以轉(zhuǎn)化為焦半徑公式解答本題．
（Ⅱ）設(shè)出A、B坐標(biāo)，利用|FA|=2|BF|，轉(zhuǎn)化為向量共線關(guān)系，以及A、B在直線和拋物線上，求出A、B坐標(biāo)然后求直線l的方程，也可以轉(zhuǎn)化為直線與拋物線由交點(diǎn)，利用韋達(dá)定理，向量共線關(guān)系，求出直線的斜率，和一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)即可求直線方程．

解答：解：方法一：（Ⅰ）由題意，得F（1，0），直線l的方程為y=x-1．
由

y=x-1 y2=4x

，得x²-6x+1=0，
設(shè)A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中點(diǎn)M的坐標(biāo)為M（x₀，y₀），
則x1=3+2

2

， x2=3-2

2

， y1=x1-1=2+2

2

， y2=x2-1=2-2

2

，
故點(diǎn)A(3+2

2

，2+2

2

)， B(3-2

2

，2-2

2

)， （3分）
所以x0=

x1+x2

2

=3， y0=x0-1=2，
故圓心為M（3，2），直徑|AB|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=8，
所以以AB為直徑的圓的方程為（x-3）²+（y-2）²=16；（6分）
（Ⅱ）因?yàn)閨FA|=2|BF|，三點(diǎn)A，F(xiàn)，B共線且點(diǎn)A，B在點(diǎn)F兩側(cè)，
所以

FA

=2

BF

，
設(shè)A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則

FA

=(x1-1，y1)， 

BF

=(1-x2，-y2)，
所以

x1-1=2(1-x2) y1=-2y2.

因?yàn)辄c(diǎn)A，B在拋物線C上，
所以y₁²=4x₁，y₂²=4x₂，\o\ac(○，2)（10分）
由\o\ac(○，1)\o\ac(○，2)，解得

x1=2 y1=2 2 x2= 1 2 y2=- 2 .

  或

x1=2 y1=-2 2 x2= 1 2 y2= 2 .

所以A(2，2

2

)， B(

1

2

，-

2

)， 或 A(2，-2

2

)， B(

1

2

，

2

)，（13分）
故直線l的方程為2

2

x-y-2

2

=0，或2

2

x+y-2

2

=0．（14分）
方法二：（Ⅰ）由題意，得F（1，0），直線l的方程為y=x-1．
由

y=x-1 y2=4x

，得x²-6x+1=0，
設(shè)A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中點(diǎn)M的坐標(biāo)為M（x₀，y₀），
因?yàn)椤?6²-4=32＞0，所以x₁+x₂=6，x₁x₂=1，
所以x0=

x1+x2

2

=3， y0=x0-1=2，故圓心為M（3，2），（3分）
由拋物線定義，得|AB|=|AF|+|BF|=(x1+

p

2

)+(x2+

p

2

)=x1+x2+p=8，
所以|AB|=x₁+x₂+p=8（其中p=2）．
所以以AB為直徑的圓的方程為（x-3）²+（y-2）²=16；（6分）
（Ⅱ）因?yàn)閨FA|=2|BF|，三點(diǎn)A，F(xiàn)，B共線且點(diǎn)A，B在點(diǎn)F兩側(cè)，
所以

FA

=2

BF

，
設(shè)A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則

FA

=(x1-1，y1)， 

BF

=(1-x2，-y2)，
所以

x1-1=2(1-x2) y1=-2y2.

…①（（9分））
設(shè)直線AB的方程為y=k（x-1）或x=1（不符合題意，舍去）．
由

y=k(x-1) y2=4x

，消去x得ky²-4y-4k=0，
因?yàn)橹本�l與C相交于A，B兩點(diǎn)，所以k≠0，
則△=16+16k²＞0，y1+y2=

4

k

， y1y2=-4，…②
由①②，得方程組

y1+y2= 4 k y1y2=-4 y1=-2y2

，解得

k=-2 2 y1=-2 2 y2= 2

或

k=2 2 y1=2 2 y2=- 2

（13分）
故直線l的方程為2

2

x-y-2

2

=0，或2

2

x+y-2

2

=0．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓的方程，直線和圓的方程的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想，函數(shù)與方程的思想，是中檔題．