Question

19．已知函數(shù)f（x）=x+$\frac{a}{x}$+lnx（a∈R）．
（1）當(dāng)a=2時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若關(guān)于x的函數(shù)g（x）=$\frac{lnx}{{x}^{2}}$-f（x）+lnx+2e（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）把方程化為 $\frac{lnx}{x}$=x²-2ex+a，求得 h（x）=$\frac{lnx}{x}$的最大值為 h（e）=$\frac{1}{e}$，再求得m（x）=x²-2ex+a 的最小值 m（e）=a-e²，根據(jù) a-e²=$\frac{1}{e}$求出a的值．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）的定義域是（0，+∞），
a=2時(shí)，f（x）=x+$\frac{2}{x}$+lnx，f′（x）=1-$\frac{2}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$=$\frac{（x+2）（x-1）}{{x}^{2}}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞1，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，
∴f（x）在（0，1）遞減，在（1，+∞）遞增；
（2）關(guān)于x的方程g（x）=$\frac{lnx}{{x}^{2}}$-f（x）+lnx+2e，可化為 $\frac{lnx}{x}$=x²-2ex+a，
令h（x）=$\frac{lnx}{x}$，令h′（x）=0，得x=e，故 h（x）的最大值為 h（e）=$\frac{1}{e}$．  
令m（x）=x²-2ex+a，可得：x=e時(shí)，m（x）的最小值 m（e）=a-e² ，
由 a-e²=$\frac{1}{e}$可得 a=e²+$\frac{1}{e}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、最值問(wèn)題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．