Question

【題目】已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，。

（Ⅰ）若曲線在點處的切線與直線平行，求的值；

（Ⅱ）若，問函數(shù)有無極值點？若有，請求出極值點的個數(shù)；若沒有，請說明理由。

Answer 1

【答案】(Ⅰ)a=1；(Ⅱ)答案見解析.

【解析】

(Ⅰ)由題意可得f′(x)=aex+(ax1)ex+a，利用導函數(shù)研究函數(shù)的切線方程確定實數(shù)a的值即可；

(Ⅱ)當時,，∴，

設g(x)=ex(x1)+1,則g′(x)=xex，據(jù)此可確定的符號，從而確定函數(shù)有無極值點.

(Ⅰ)由題意得f(x)=(ax1)ex+ax+1，

∴f′(x)=aex+(ax1)ex+a，

∵在點(0,f(0))處的切線與直線xy+1=0平行，

∴切線的斜率為f′(0)=a1+a=1，解得a=1.

(Ⅱ)當時,，

∴，

設g(x)=ex(x1)+1,則g′(x)=ex(x1)+ex=xex，

則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，

函數(shù)，

據(jù)此可得恒成立，

函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，函數(shù)不存在極值點.