Question

【題目】對于正整數(shù)集合，如果任意去掉其中一個元素之后，剩余的所有元素組成的集合都能分為兩個交集為空集的集合，且這兩個集合的所有元素之和相等，就稱集合為“可分集合”.

（1）判斷集合和是否是“可分集合”（不必寫過程）；

（2）求證：五個元素的集合一定不是“可分集合”；

（3）若集合是“可分集合”.

①證明：為奇數(shù)；

②求集合中元素個數(shù)的最小值.

Answer 1

【答案】（1）集合不是“可分集合”，集合是“可分集合”；（2）見解析；（3）①見解析；②最小值是7

【解析】

（1）根據定義直接判斷即可得到結論；

（2）不妨設，若去掉的元素為，則有①，或者②；若去掉的元素為，則有③，或者④，求解四個式子可得出矛盾，從而證明結論；

（3）①設集合所有元素之和為，由題可知，均為偶數(shù)，因此均為奇數(shù)或偶數(shù).分類討論為奇數(shù)和為偶數(shù)的情況，分析可得集合中元素個數(shù)為奇數(shù)；②結合（1）（2）問，依次驗證當時，當時，當時集合是否為“可分集合”，從而證明結論.

（1）集合不是“可分集合”，集合是“可分集合”；

（2）不妨設，

若去掉的元素為，將集合分成兩個交集為空集的子集，且兩個子集元素之和相等，則有①，或者②；

若去掉的元素為，將集合分成兩個交集為空集的子集，且兩個子集元素之和相等，則有③，或者④.

由①、③，得，矛盾；由①、④，得，矛盾；

由②、③，得，矛盾；由②、④，得，矛盾.

因此當時，集合一定不是“可分集合”；

（3）①設集合所有元素之和為.

由題可知，均為偶數(shù)，因此均為奇數(shù)或偶數(shù).

如果為奇數(shù)，則也均為奇數(shù)，由于，所以為奇數(shù).

如果為偶數(shù)，則均為偶數(shù)，此時設，則也是“可分集合”. 重復上述操作有限次，便可得各項均為奇數(shù)的“可分集合”. 此時各項之和也為奇數(shù)，則集合中元素個數(shù)為奇數(shù).

綜上所述，集合中元素個數(shù)為奇數(shù).

②當時，顯然任意集合不是“可分集合”.

當時，第（2）問已經證明集合不是“可分集合”.

當時，集合，因為：

3+5+7+9=11+13，1+9+13=5+7+11，9+13=1+3+7+11，1+3+5+11=7+13，

1+9+11=3+5+13，3+7+9=1+5+13，1+3+5+9=7+11，

則集合是“可分集合”.

所以集合中元素個數(shù)的最小值是7.