設(shè)數(shù)列{an}為等差數(shù)列,{bn}為單調(diào)遞增的等比數(shù)列,且a1+a2+a3=-27,b1b2b3=512,a1+a1=|b2+b2|=a3+a3
(1)求a2+b2的值及數(shù)列{an},{bn}的通項(xiàng);
(2)若cn=
bn(bn-2)(bn-1)
,求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Sn
分析:(1)通過(guò)等差照相與等比中項(xiàng)直接求出a2與b2即可求出a2+b2的值,利用a1+a1=|b2+b2|=a3+a3
列出關(guān)系式,求出公差與公比,即可求出數(shù)列{an},{bn}的通項(xiàng);
(2)通過(guò){bn}的通項(xiàng),化簡(jiǎn)數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式,利用裂項(xiàng)法直接求解數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Sn
解答:解:(1)由題意a1+a2+a3=-27,得a2=-9,
∵b1b2b3=512,∴b2=8,
所以a2+b2=-1,
設(shè)a1=-9-d,a3=-9+d,b1=
8
q
,b3=8q,
-9-d+
8
q
=1
-9+d+8q=1
,解得
q=2
d=-6
q=
1
2
d=6
(舍去)
bn=4×2n-1=2n+1
an=-3+(n-1)×(-6)=3-6n.
(2)cn=
bn
(bn-2)(bn-1)

=
2n+1
(2n+1-2)(2n+1-1)

=
2n
(2n-1)(2n+1-1)

=
1
2n-1
-
1
2n+1-1

∴Sn=c1+c2+c3+…+cn
=(
1
2-1
-
1
22-1
)+(
1
22-1
-
1
23-1
)+…+(
1
2n-1
-
1
2n+1-1
)

=1-
1
2n+1-1
=
2n+1-2
2n+1-1
點(diǎn)評(píng):本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應(yīng)用,裂項(xiàng)法求解數(shù)列和的方法,考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知a1=1,點(diǎn)(an,an+1)在函數(shù)f(x)=x2+4x+2的圖象上,其中n=1,2,3,4,…
(1)證明:數(shù)列{lg(an+2)}是等比數(shù)列;
(2)設(shè)數(shù)列{an+2}的前n項(xiàng)積為T(mén)n,求Tn及數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(3)已知bn
1
an+1
1
an+3
的等差中項(xiàng),數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn,求證:
3
8
Sn
1
2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)數(shù)列{an}的各項(xiàng)都為正數(shù),其前n項(xiàng)和為Sn,已知對(duì)任意n∈N*,Sn是an2和an的等差中項(xiàng).
(Ⅰ)證明數(shù)列{an}為等差數(shù)列,并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)證明
1
S1
+
1
S2
+…+
1
Sn
<2;
(Ⅲ)設(shè)集合M={m|m=2k,k∈Z,且1000≤k<1500},若存在m∈M,使對(duì)滿(mǎn)足n>m的一切正整數(shù)n,不等式Sn-1005>
a
2
n
2
恒成立,求這樣的正整數(shù)m共有多少個(gè)?

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx滿(mǎn)足條件:①f(0)=f(1);  ②f(x)的最小值為-
1
8

(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)積為T(mén)n,且Tn=(
4
5
f(n),求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(3)在(2)的條件下,若5f(an)是bn與an的等差中項(xiàng),試問(wèn)數(shù)列{bn}中第幾項(xiàng)的值最?求出這個(gè)最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)數(shù)列{an}的各項(xiàng)都為正數(shù),其前n項(xiàng)和為Sn,已知對(duì)任意n∈N*,Sn
1
2
an2和an的等差中項(xiàng)
(Ⅰ)證明:數(shù)列為等差數(shù)列,并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)證明:
1
2
1
S1
+
1
S2
+…+
1
Sn
<1
;
(Ⅲ)設(shè)集合M={m|m=2k,k∈Z,且1000≤k<1500},若存在m∈M,使對(duì)滿(mǎn)足n>m的一切正整數(shù)n,不等式2Sn-4200>
a
2
n
2
恒成立,試問(wèn):這樣的正整數(shù)m共有多少個(gè).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)數(shù)列{an}是等差數(shù)列,數(shù)列{bn}是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列,且a1=b1=1,b1+b2=a2,b3是a1與a4的等差中項(xiàng).
(I)求數(shù)列{an},{bn}的通項(xiàng)公式;
(II)求數(shù)列{
anbn
}的前n項(xiàng)和Sn

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