Question

【題目】已知函數(shù)，其中為常數(shù).

（1）若不等式的解集是,求此時的解析式；

（2）在（1）的條件下，設函數(shù)，若在區(qū)間上是單調遞增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；

（3）是否存在實數(shù)使得函數(shù)在上的最大值是？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）存在，或

【解析】

（1）根據(jù)一元二次不等式與一元二次方程的關系，利用韋達定理，即可求解；

（2）根據(jù)二次函數(shù)圖像確定對稱軸和區(qū)間的關系，即可求解；

（3）由二次函數(shù)圖像，求出函數(shù)可能取到的最大值，建立方程，求出參數(shù)，回代驗證；或由對稱軸，分類討論，確定二次函數(shù)圖象開口方向，函數(shù)在上的單調性，求出最大值且等于4，建立方程，即可求得結論.

解：(1)由題意得：是的根

∵， 解得

∴

(2)由（1）可得 ，

其對稱軸方程為

若在上為增函數(shù)，則，解得

綜上可知，的取值范圍為

(3)當時，

，函數(shù)在上的最大值是15，不滿足條件

當時，假設存在滿足條件的，

則的最大值只可能在對稱軸處取得，

其中對稱軸

① 若，則有 ，

的值不存在，

② 若，則，

解得，此時，對稱軸，

則最大值應在處取得，與條件矛盾，舍去

③ 若，

則：，且，

化簡得，

解得或 ，滿足

綜上可知，當或時，

函數(shù)在上的最大值是4.

(3)另解：當時，

，函數(shù)在上的最大值是15，不滿足條件

所以，此時的對稱軸為

若，，此時

在上最大值為，

解得，與假設矛盾，舍去；

若

①當，即，函數(shù)在為增，

在上最大值為

，解得，矛盾舍去

②當，即，矛盾舍…

③當.即，

在上最大值為，

則 ，化簡得，

解得或 ，滿足 …

綜上可知，當或時，

函數(shù)在上的最大值是4