坐標系與參數(shù)方程 
已知橢圓C：
x2
16
+
y2
9
=1與x正半軸、y正半軸的交點分別為A，B，動點P是橢圓上任一點，求△PAB面積的最大值．
分析：根據(jù)橢圓的方程算出A（4，0）、B（0，3），從而得到|AB|=5且直線AB：3x+4y-12=0．設(shè)點P（4cosθ，3sinθ），由點到直線的距離公式算出P到直線AB距離為d=
12
5
|
2
sin（θ+
π
4
）-1|，結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)算出dmax=
2
+1，由此結(jié)合三角形面積公式，即可得到△PAB面積的最大值．
解答：解：∵橢圓C方程為：
x2
16
+
y2
9
=1，
∴橢圓與x正半軸交于點A（4，0），與y正半軸的交于點B（0，3），
∵P是橢圓上任一個動點，設(shè)點P（4cosθ，3sinθ）（θ∈[0，2π]）
∴點P到直線AB：3x+4y-12=0的距離為
d=
|12cosθ+12sinθ-12|
32+42
=
12
5
|
2
sin（θ+
π
4
）-1|
由此可得：當θ=
5π
4
時，dmax=
12
5
（
2
+1）
∴△PAB面積的最大值為S=
1
2
|AB|×dmax=6（
2
+1）
點評：本題給出橢圓的右頂點為A、上頂點為B，求橢圓上動點P與AB構(gòu)成三角形的面積最大值，著重考查了橢圓的標準方程、參數(shù)方程，點到直線的距離和三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（選做題）選修4-4：坐標系與參數(shù)方程
已知半圓C的參數(shù)方程C：
x=cosθ
y=sinθ
θ為參數(shù)且（0≤θ≤π），P為半圓C上一點，A（1，0）O為坐標原點，點M在射線OP上，線段OM與
AP
的長度均為
π
3
．?
（1）求以O(shè)為極點，x軸為正半軸為極軸建立極坐標系求點M的極坐標．
（2）求直線AM的參數(shù)方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•文昌模擬）選修4-4：坐標系與參數(shù)方程
已知曲線C的極坐標方程是ρ=1，以極點為原點，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標系，直線l的參數(shù)方程
x=1+
t
2
y=2+
3
2
t
(t為參數(shù))．
（1）寫出直線l的普通方程與曲線C的直角坐標方程；
（2）設(shè)曲線C經(jīng)過伸縮變換
x′=3x
y′=y
得到曲線C′，設(shè)曲線C′上任一點為M（x，y），求x+2
3
y的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（1）選修4-4：坐標系與參數(shù)方程已知圓O1和圓O2的極坐標方程分別為ρ=2，ρ2-2
2
ρcos（θ-
π
4
）=2．
（Ⅰ）把圓O1和圓O2的極坐標方程化為直角坐標方程；
（Ⅱ）求經(jīng)過兩圓交點的直線的極坐標方程．
（2）選修4-5：不等式選講，設(shè)x+2y+3z=3，求4x2+5y2+6z2的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•保定一模）選修4-4：坐標系與參數(shù)方程
已知：直線l的參數(shù)方程為
x=
1
2
t
y=
3
2
t+1
（t為參數(shù)），曲線C的參數(shù)方程為
x=2+cosθ
y=sinθ
（θ為參數(shù)）．
（1）若在極坐標系（與直角坐標系xOy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸）中，點P的極坐標為（4，
π
3
），判斷點P與直線l的位置關(guān)系；
（2）設(shè)點Q是曲線C上的一個動點，求點Q到直線l的距離的最大值與最小值的差．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

選修4-4　 坐標系與參數(shù)方程
已知曲線C的極坐標方程為：ρ2-4
2
ρcos(θ-
π
4
)+6=0，
（Ⅰ）求曲線C的直角坐標方程；
（Ⅱ）設(shè)（x，y）是曲線C上任意一點，求
y
x
的最大、最小值．

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