Question

19、已知函數(shù)f（x）的定義域為R，對任意的x、y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且當(dāng)x＞0時，f（x）＜0，f（1）=-2．
（Ⅰ）求證：函數(shù)f（x）為奇函數(shù)；
（Ⅱ）求證：f（nx）=nf（x），n∈N^*
（Ⅲ）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-n，n]（n∈N^*）上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)已知中對任意的x、y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），令x=y=0，易得f（0）=0，令y=-x，結(jié)合函數(shù)奇偶性的定義，即可得到結(jié)論；
（II）利用數(shù)學(xué)歸納法，對n的取值進(jìn)行討論，即可得到f（nx）=nf（x），n∈N^*
（III）根據(jù)（I）的結(jié)論，我們易得函數(shù)f（x）在區(qū)間[-n，n]（n∈N^*）上的最大值為f（-n），最小值為f（n），結(jié)合（II）的結(jié)論及f（1）=-2，我們易求出答案．

解答：（Ⅰ）證明：∵對任意的x、y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），①
令x=y=0得，f（0）=f（0）+f（0）=2f（0）（2分）
∴f（0）=0
令y=-x得，f（x-x）=f（x）+f（-x）=f（0）=0，（1分）
即f（-x）=-f（x）
∴函數(shù)f（x）為奇函數(shù)（3分）
（Ⅱ）證明：（1）當(dāng)n=1時等式顯然成立
（2）假設(shè)當(dāng)n=k（k∈N^*）時等式成立，即f（kx）=kf（x），，（4分）
則當(dāng)n=k+1時有
f（（k+1）x）=f（kx+x），由①得f（kx+x）=f（kx）+f（x）（6分）
∵f（kx）=kf（x）
∴f（kx+x）=kf（x）+f（x）=（k+1）f（x）
∴當(dāng)n=k+1時，等式成立．
綜（1）、（2）知對任意的n∈N^*，f（nx）=nf（x）成立．（8分）
（Ⅲ）解：設(shè)x1，x2∈R，x1＜x2，因函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，結(jié)合①得
f（x2）-f（x1）=f（x2）+f（-x1）=f（x2-x1）（9分）
∵x2-x1＞0
又∵當(dāng)x＞0時，f（x）＜0
∴f（x2-x1）＜0，
∴f（x2）-f（x1）＜0，
∴函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞減（12分）
∴f（x）的最大值為f（-n），最小值為f（n）
由（II）得f（n）=nf（1）
又∵f（1）=-2，f（n）=nf（1），
∴f（n）=-2n，f（-n）=-f（n）=2n
∴f（x）的最小值為-2n，最大值為2n

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是抽象函數(shù)及其應(yīng)用，函數(shù)的最值及其幾何意義，其中根據(jù)已知條件判斷出函數(shù)的單調(diào)性及奇偶性是解答本題的關(guān)鍵．